热点2-5 导数的应用-单调性与极值（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点2-5 导数的应用-单调性与极值 导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。 【题型1 求函数的单调区间或单调性】 满分技巧 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 【例1】（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ． 【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间. 【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数，. （1）求曲线的平行于直线的切线方程； （2）讨论的单调性. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 满分技巧 已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（ ） A． B． C． D． 【题型3 导函数与函数的图象关系】 满分技巧 （1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减； （2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致。 【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A．函数的减区间是， B．函数的减区间是， C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ） A． B． C． D． 【题型4 求函数的极值或极值点】 满分技巧 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如