19.3.3　正方形同步练习 2023—-2024学年沪科版数学八年级下册

第19章　四边形 19.3　矩形、菱形、正方形 19.3.3　正方形 基础过关全练 知识点1　正方形的定义及性质 1.如图,四边形ABCD为平行四边形,增加一个条件可以使平行四边形ABCD为正方形的是(　　) A.AB=AD　　B.AC=BD C.AC⊥BD　　D.AB⊥BC且AB=AD 2.如图,点P是正方形ABCD内一点,连接AP,BP,CP.若△APB是等边三角形,则∠BPC的度数为(　　) A.30°　　B.60°　　C.75°　　D.90° 3.(2023山东枣庄中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为　　　　.  4.(2022北京朝阳期中)如图,点E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点,且OE⊥OF,已知AD=6,则图中阴影部分的面积是　　　　.  5.如图,正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,连接BP,过B点作BQ⊥BP,且BQ=BP,连接QC、QP,QP交BC于点E,QP的延长线与AD交于点F. (1)求证:AP=CQ; (2)若正方形的边长为4,且PC=3AP,求线段PQ的长. 知识点2　正方形的判定 6.(2023上海静安期末)已知四边形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,∠B=∠D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是　(　　) A.∠D=90°　　B.AB=CD C.BC=CD　　D.AC=BD 7.【新独家原创】如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O. (1)求证:若AC平分∠BAD,则矩形ABCD是正方形; (2)请添加一个异于(1)的条件,使矩形ABCD成为正方形,并说明理由. 能力提升全练 8.(2023湖南常德中考,7,★☆☆)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(　　) A.80°　　B.90°　　C.105°　　D.115° 9.【一题多变·已知正方形的性质,求线段的最小值】(2022安徽舒城模拟,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是DC、AD边上的动点,且AE⊥BF,垂足为P,连接CP.若正方形的边长为1,则线段CP长度的最小值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. [变式·变换条件,探究结论的多样性](2021湖南常德中考,7,★★☆)如图,已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于P,则下列结论成立的是(　　) A.BE=AE B.PC=PD C.∠EAF+∠AFD=90° D.PE=EC 10.(2023湖南怀化中考,15,★☆☆)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为　　　　.  11.(2023广西中考,18,★★☆)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为　　　　.  12.(2022山东泰安中考,18,★★☆)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为　　　　.  13.(2023天津中考,17,★★☆)如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,AE=DE=. (1)△ADE的面积为　　　　;  (2)若F为BE的中点,连接AF并延长,与CD相交于点G,则AG的长为　　　　　.  14.(2021安徽潜山期末,22,★★☆)如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=3,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形DEFG是正方形. (2)探究:CE+CG的值是不是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. 素养探究全练 15.【截长补短法】【推理能力】如图1,正方形ABCD中,点E,G,H分别在AB,AD,BC上,且DE⊥HG,垂足为点O. (1)求证:DE=HG; (2)平移图1中线段GH,使点G与点D重合,点H在BC延长线上,连接EH,取EH中点P,连接PC,如图2,试探究线段CP与BE的数量关系,并说明理由. 图1 图2 第19章　四边形 19.3　矩形、菱形、正方形 19.3.3　正方形 答案全解全析 基础过关全练 1.D　当AB=AD时,只能证明▱ABCD为菱形,故选项A错误;当AC=BD时,只能证明▱ABCD为矩形,故选项B错误;当AC⊥BD时,只能证明▱ABCD为菱形,故选项C错误;∵AB⊥BC,∴▱AB