19.3.3 正方形-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

3.正方形（答案P24) 通基础 6.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，G为 线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E,DF⊥ 知识点1正方形的性质 CE于点F.求证：DF=BE+EF 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的 一点，且AB=AE,则∠EBC的度数是( A.45 B.30° C.22.5°D.20 第2题图 第3题图 3.(2024·滨州邹平期末)如图所示，正方形AB CD的边长是2，对角线AC,BD相交于点O, 点E,F分别在边AD,AB上，且OE⊥OF,则 四边形AFOE的面积是( A.4 B.2 C.1 0.2 知识点2正方形的判定 4.(2024·常州中考)如图所示，在平面直角坐标 7.抽象能力)下列说法不正确的是() 系xOy中，正方形ABCD的对角线AC,BD A.对角线互相垂直的矩形是正方形 相交于原点O.若点A的坐标是(2,1)，则点C B.对角线相等的菱形是正方形 的坐标是 C.有一个角是直角的平行四边形是正方形 D.邻边相等的矩形是正方形 8.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB= BC,②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四 第4题图 第5题图 边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其 5.(2024·兰州中考)如图所示，四边形ABCD 中错误的是( ) 为正方形.△ADE为等边三角形，EF⊥AB A.①② B.①③ 于点F,若AD=4,则EF= C.②④ D.②③ 108 优学案课时通 9.如图所示，等边三角形AEF的顶点E,F在矩 多对正方形的判定方法掌握不牢而致错 形ABCD的边BC,CD上，且∠CEF=45°.求 11.抽象能方如图所示，一个四边形顺次添加下 证：矩形ABCD是正方形. 列条件中的三个条件便可以得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c,一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d:②b→d→c: ③a→b→c.正确的是( 添加条件 四边形 正方形 A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 通能力 知识3正方形的性质与判定的综合运用 12.如图所示，在正方形ABCD的外侧，作等边 10.如图所示，在矩形ABCD中，AD=6,CD=8, 三角形ADE,则∠CBE的度数为() 菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩 A.80° B.75 C.70 D.659 形ABCD的边AB,CD,DA上，AH=2,连 接CF. (1)当DG=2时，求证：四边形EFGH是正 方形 (2)当△FCG的面积为2时，求DG的值， 第12题图 第13题图 13.(2024·重庆中考)如图所示，在边长为4的 正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F 是CD延长线上一点，连接AE,AF,AM平 分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则 DM的长度为( A.2 B.5 C.√6 12 D. 14.如图所示，已知点E在 正方形ABCD的边AB 上，以BE为边向正方 形ABCD外部作正方 a 形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF 的中点，连接MN.若AB=7,BE=5,则 MN= 一八生级卡研数学 109 15.(2024·宜宾中考)如图所示，正方形ABCD 通素养 的边长为1，M,N分别是边BC,CD上的动 点.若∠MAN=45°，则MN的最小 17.如图所示，在正方形ABCD中，点E是BD 值为 上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点 F,连接CE (1)若点F在线段BC上. ①若AB=BE,求∠DAE的度数， ②求证：CE=EF, (2)若正方形边长为2，且BC=2BF,请求出 16.如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠B 线段DE的长 ∠D=90°，点E,F分别在边BC,CD上，将 AB,AD分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好 都和点G重合，∠EAF=45° (1)求证：四边形ABCD是正方形 (2)求证：三角形ECF的周长是四边形AB CD周长的一半。 (3)若EC=FC=1,求AB的长度. 110 优学案课时通一,'.△ABC≌△ADC(SSS). .CG=2,∴.DG=DC-CG=6 ∴，∠BAF=∠DAF.在△ABF和△ADF中， D AB-AD. ∠BAF=∠DAF, AF=AF. .△ABF2△ADF(SAS),∴.∠AFB=∠AFD. ,∠CFE=∠AFB, ∴.∠AFD=∠CFE. 11.C 13 (2)证明：：AB∥CD,.∠BAC=∠ACD. 12.B13.D14. 15.22-2 :∠BAC=∠DAC,.∠DAC=∠ACD, 16.解：(1)证明：由题意，得∠BAE=∠EAG, ..AD=CD..AB=AD,CB=CD,..AB=CB= ∠DAF=∠FAG,AB=AG,AD=AG, CD=AD,∴.四边形ABCD是菱形. .∠BAD=2∠EAF=90°， (3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由： ∴.∠B=∠BAD=∠D=90°， :四边形ABCD是菱形，∴BC=CD,∠BCF .四边形ABCD是矩形. ∠IDCF.,CF=CF,∴.△BCF≌△DCF(SAS), .'AB=AG.AD=AG,..AB=AD. ∠CBF=∠CDF.,BE⊥CD, .矩形ABCD是正方形. .∠BEC=∠DEF=90°，.∠EFD=∠BCD. (2)证明：EG=BE,FG=DF, 3.正方形 :.EF=BE+DF, .△ECF的周长=EF+CE十CF=BE+DF+ 1.B2.C3.C4.(-2,-1)5.2 CE+CF=BC十CD, 6.证明：：四边形ABCD是正方形，.BC=CD, ∴.三角形ECF的周长是正方形ABCD周长的 ∠BCD=90°.：CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC= 一半. ∠DFC=90°，.∠BCE+∠CBE=90° ∠BCE+∠DCF, (3),EC=FC=1,∴.EF=EC+FC=√2 ∴.∠CBE=∠DCF,在△CBE和△DCF中， ∠EBC=∠FCD, EF-BE+DF.BE-DF-EF 21 ∠BEC=∠CFD, BC=CD. .AB-BC=BE+EC=1. ∴.△CBE≌△DCF(AAS),.CF=BE,CE=DF, 17.解：(1)①，四边形ABCD为正方形. .CE=EF+CF,..DF=BE+EF. .∠ABE=45.又AB=BE, 7.C8.D 9.证明：，四边形ABCD是矩形， 六∠BAE=∠BEA=2×(180°-45)=67.5. ∴.∠B=∠D=∠C=90°， ∴.∠DAE=90°-67.5=22.5 ,△AEF是等边三角形， ②证明：，正方形ABCD关于BD对称， ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60° ∴.△ABE≌△CBE,.∠BAE=∠BCE. ,∠CEF=45°，.∠CFE=∠CEF=45°， 又，∠ABC=∠AEF=90°， ∴.∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75. ∴.∠BAE+∠BFE=360°-90°-90°=180°= 在△AEB和△AFD中， ∠EFC+∠BFE,·∠BAE=∠EFC, ∠B=∠D, ∴.∠BCE=∠EFC,∴.CE=EF. ∠AEB=∠AFD, (2)如图①所示，当点F在线段BC上时，过点E AE=AF. 作MN⊥BC,垂足为N,交AD于点M. ∴.△AEB≌△AFD(AAS), MD .AB=AD,.矩形ABCD是正方形 10.解：(1)证明：在矩形ABCD中， 有∠A=∠D=90°，∴.∠DGH+∠DHG=90°. 在菱形EFGH中，EH=GH. .AH=2.DG=2...AH=DG. .Rt△AEH≌Rt△DHG(HL), ① ∴.∠AHE=∠DGH,∴.∠AHE+∠DHG=90°， ,CE=EF,∴.N是CF的中点，BC=2BF, .∠EHG=90°， ∴.菱形EFGH是正方形. -c- (2)过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于Q,连接 :∠BCD=∠CDM=∠MNC=90°， EG,如图所示， .四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三 则∠FQG=90°，∴.∠A=∠FQG=90° 角形，.CV=DM=ME, 由矩形和菱形的性质，知AB∥DC,HEGF, ∴·∠AEG=∠QGE,∠HEG=∠FGE, ED=√DM+ME-2DM=2CN= 2 ∴.∠AEH=∠QGF,'EH=GF, 如图②所示，当点F在线段CB的延长线上时，过 ∴.△AEH≌△QGF(AAS),∴.FQ=AH=2. 点E作MN⊥BC,垂足为N,交AD于点M, Sam=CG·F0=7×0Gx2=2. 24 ∴.∠AOD+∠DOC=∠COE+∠DOC. .∠AOD=∠COE. 在△ADO与△CEO中， I∠A=∠OCE， A0=C0. ∠AOD=∠COE ② ∴.△ADO≌△CEO(ASA),∴.AD=CE. ,正方形ABCD关于BD对称， :DF∥BC,.∠ADF=90°， ∴.△ABE≌△CBE(SAS), ∴∠AFD=∠A=45°，∴.DF=AD=CE, ∴，∠BAE=∠BCE.又，∠ABF=∠AEF=90°， .四边形DCEF是平行四边形. .∠BAE=∠EFC,∴.∠BCE=∠EFC, ,∠ACB=90°，∴.平行四边形DCEF是矩形 ∴.CE=EF,.FN=CN.又BC=2BF=2, (2)四边形DCEF是矩形，.EF⊥BC, ∴.FC=3,∴CN= 1 2六EN=BN=2: ∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE. .∠C0E=22.5°，.∠E0B=90°-22.5°=67.5， BE-/BNFENT_ .∠OEB=180°-45-67.5=67.5°， 2 .∠BOE=∠BEO,∴.BE=BO, .BD=√BC+CD产=2√2， ..EF=BE=BO=AO=CO, ·DE=BD-BE=3V2 ∴.图中长度等于EF的线段有BE,BO,AO,CO. (CD除外) 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 综上所述线段DE的长为号支， ∴.∠B=∠D.,AE⊥BC,AF⊥CD. .∠AEB=∠AFD=90°. 专题六特殊四边形性质与 在△AEB和△AFD中， 判定的综合运用 1∠B=∠D. 1.解：(1)证明：，在□ABCD中，ADBC,AD=BC.又 BE=DF. AD=AC.AD⊥AC. ∠AEB=∠AFD ∴，AC=BC,AC⊥BC.连接CE,如图①所示 ,',△AEB≌△AFD(ASA),,.AB=AD, ,E是AB的中点，.AE=EC,CE⊥AB, ∴.□ABCD是菱形 ∠ACE=∠BCE=45°，∴.∠ECF=∠EAD=135°. (2)图中面积是△BEC面积2倍的所有三角形为 ,ED⊥EF, △ABG,△ADH,△AGH,△DFG. .∠CEF=∠AED=90°-∠CED. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形， 在△CEF和△AED中， .∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD. I∠CEF=∠AED, 在△ABE和△ADE中， EC=EA. AB=AD. ∠ECF=∠EAD, ∠BAE=∠DAE， ,.△CEF2△AED(ASA),..ED=EF. AE-AE. (2)补全图形如图①所示，四边形ACPE为平行四 .△ABE≌△ADE(SAS),∴.BE=DE. 边形.证明：由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD. (2)①证明：如图①所示，作EM⊥BC于M,EN⊥ AD=AC,..AC=CF. CD于N,得矩形EMCN, DP/AB.FP=PB.CP-TAB-AE, .∠MEN=90 :点E是正方形ABCD对角线上的点， ,,四边形ACPE为平行四边形. ..EM=EN (3)补全图形如图②所示.由(2)知AC=CF. CQ∥AD,∴.DQ=FQ. ∠DEF=90 .∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. ,在Rt△DAF与Rt△DEF中， 在△DEN和△FEM中， QA- 2DF,QE=2DF,∴QA=QE, I∠DNE=∠FME=90°. EN=EM, ∠DEN=∠FEM, .△DEN≌△FEM(ASA),∴.DE=EF. 四边形DEFG是矩形， ∴.矩形DEFG是正方形. (2 2.解：(1)证明：：∠ACB=90°，O是AB边的中点， .CO-TAB=AO-B0.AC-BC. ∴.∠A=∠B=45,(OC⊥AB, ∠ACO=∠BCO=45”,∴.∠A=∠BCO. ,∠EOD=90, ②由正方形DEFG和正方形ABCD, 25