2024届高三数学寒假专题复习训练 圆锥曲线

　圆锥曲线定点定值问题 题型一　直线过定点问题 1(2023·佛山质检)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)． (1)求C的方程； (2)设Q(1，0)，直线x＝t不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过x轴上的一定点． 感悟提升　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 题型二　其它曲线过定点问题 2 (2023·深圳调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)经过点A(2，0)，且点A到C的渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)过点(4，0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x＝4分别交直线AM，AN于点E，F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由． 感悟提升　(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在． (2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参． 题型三　长度或距离为定值 3 (2023·郑州模拟)已知点F(0，1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的. (1)求曲线C的方程； (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值． 感悟提升　探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值． 题型四　斜率或代数式为定值 4(2023·武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)＝λ，＝μ，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由． 题型五　几何图形的面积为定值 5 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由． 感悟提升　探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可． 最值、范围问题 题型一　最值问题 角度1　基本不等式法求最值 例1 (12分)(2023·青岛调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A，B两点，且△ABF1的周长为4. (1)求Γ的方程； (2)若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值． 角度2　函数法求最值 2 (2023·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线 x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值． 感悟提升　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 题型二　范围问题 3 (2023·辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆：＋y2＝1的右焦点重合． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围． 感悟提升　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建