6.3.4 空间距离的计算 午练——2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练9　空间距离的计算 1.已知平面α的一个法向量为n=(3,4,0),点A(-1,1,1)在平面α内,则点P(1,2,3)到平面α的距离为(　　) A. B.2 C.4 D. 2.(2023苏州质检)已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为(　　) A.1 B.11 C.-1或-11 D.-21 3.已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到直线l的距离为(　　) A.2 B. C. D. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a 5.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆 B.直线l的一个方向向量是m=(2,1,-1),平面α的一个法向量是n=(1,1,3),则l∥α C.平面α经过A(1,0,-1),B(0,1,0),C(2,3,-1)三点,向量n=(u,2,t)是平面α的法向量,则u+t=-14 D.平面α的一个法向量为n=(2,0,1),点A(-1,2,1)在α内,则点M(1,2,3)到平面α的距离为 6.(多选题)(2023徐州月考)如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,SA=AB,O,P分别是AC,SC的中点,M是棱SD上的动点,则下列选项正确的有(　　) A.OM⊥PA B.存在点M,使OM∥平面SBC C.存在点M,使直线OM与AB所成的角为30° D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值 7.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,4),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h=　　　　.  8.(2023无锡月考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为平面A1ABB1的中心,E为BC的中点,则点O到直线A1E的距离为　　　　.  9.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1DB与平面D1CB1的距离. 10.(2023扬州测试)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,EA⊥平面ABCD,EA∥BF,AB=AE=2BF=2. (1)证明:平面EAC⊥平面EFC. (2)在棱EC上有一点M,使得平面MBD与平面BCF的夹角的余弦值为,求点M到平面BCF的距离. 午练9　空间距离的计算 1.B　由题意,得=(2,1,2),又平面α的一个法向量n=(3,4,0), 所以点P到平面α的距离d===2.故选B. 2.C　=(x+2,2,-4),而d==,即=,解得x=-1或x=-11.故选C. 3.B　∵点P(1,1,1),直线l过点A(1,-1,-1),且直线l的一个方向向量为m=(1,0,-1), ∴=(0,-2,-2), ∴直线的一个单位方向向量m0==(1,0,-1), ∴点P到直线l的距离d===.故选B. 4.D　由正方体的性质知,AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离. 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a), 所以=(a,-a,a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=(-a,-a,0). 连接A1C,由·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,且AB1∩B1D1=B1,可知A1C⊥平面AB1D1, 则平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1), 所以两平面间的距离d===a. 故选D. 5.ABD　对于A,将空间中所有单位向量的起点移到同一点,它们的终点构成一个球面,A选项错误;对于B,因为m·n=2+1-3=0,所以l∥α或l⊂α,B选项错误;对于C,因为=(-1,1,1),=(1,3,0),所以n·=-u+2+t=0,n·=u+6=0,解得u=-6,t=-8,所以u+t=-14,C选项正确;对于D,因为=(-2,0,-2),所以cos<n,>===-,所以点M到平面α的距离d=|||cos<n,>|=2×=,D选项错误.故选ABD. 6.ABD　以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(如图), 设SA=AB=2, 则A(0,0,0),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),O(