6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 午练——2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练6　直线的方向向量与平面的法向量 1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC的法向量的是(　　) A. B. C. D. 3.(2023滨州月考)已知平面α内有两点M(1,-1,2),N(a,3,3),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则a=(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是(　　) A.(2,3,1) B.(1,-1,2) C.(1,2,1) D.(1,0,3) 5.(多选题)在如图所示的坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的有(　　) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为　　　　.  7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　.  8.(人A教材题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.以D为原点,为空间的一个单位正交基底,建立空间直角坐标系O-xyz,求平面ACD1的一个法向量. 9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 午练6　直线的方向向量与平面的法向量 1.A　由题意得a∥b,所以解得x=-1. 2.D　如图,∵CC1,AA1,BB1均垂直于平面ABC,∴选项D中的可以作为平面ABC的法向量. 故选D. 3.C　因为M(1,-1,2),N(a,3,3),所以=(a-1,4,1). 因为平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),所以n⊥, 则n·=6(a-1)-3×4+6=0,解得a=2.故选C. 4.D　=(1,1,1),=(1,2,-1). 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), ∴即 不妨令x=3,则y=-2,z=-1, ∴n=(3,-2,-1). ∵(3,-2,-1)·(1,0,3)=0,∴在平面ABC内的点是(1,0,3).故选D. 5.ABC　DD1∥AA1,=(0,0,1),故A正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),故B正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故C正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故D错误. 6.(1,1,1)(答案不唯一)　由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1). 7.x-y+2z+1=0　由题意知·n=0,即x-y+2z+1=0. 8.解 如图,由题可得C(0,4,0),A(3,0,0),D1(0,0,2), 则=(-3,4,0),=(-3,0,2). 设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z), 则令x=4,得y=3,z=6, 则平面ACD1的一个法向量为(4,3,6). 9.解 以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则=,1,0,=-,0,1. 显然向量=,0,0是平面SBA的一个法向量. 设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量, 则即即 令x=2,得y=-1,z=1, 故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $$