6.2.1空间向量基本定理 午练——2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练4　空间向量基本定理 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则等于(　　) A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 2.如图,在空间四边形ABCD中,点M在AB上,且=2,若N为CD的中点,则=(　　) A. B.- C. D. 3.若a,b,c构成空间的一个基底,则下列向量能构成空间的一个基底的是(　　) A.a+b,a-c,b B.c,b+c,b-c C.b+c,a+b+c,a D.a,a+b,a-b 4.(2023常州质检)如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,M是EG和FH的交点,对空间任意一点O都有=k,则k=(　　) A. B. C.2 D.4 5.(多选题)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A.{a,b,x} B.{x,y,z} C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c} 6.(多选题)给出下列命题,其中正确的有(　　) A.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底 B.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一组基底,则A,B,M,N共面 C.若=0,则P,A,B,C四点共面 D.已知是空间的一组基底,若m=a+c,则也是空间的一组基底 7. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用, 作为基向量,则=　　　　　　　.　  8.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=,则AC1的长度为　　　　.  9.如图,已知平行六面体OABC-O'A'B'C',点G是侧面BB'C'C的中心,且=a,=b,=c. (1){a,b,c}能否构成空间的一个基底? (2)如果{a,b,c}能构成空间的一个基底,那么用它表示下列向量:. 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且∠PAB=∠PAD=60°.若M是PC的中点,设=a,=b,=c. (1)将空间向量用a,b,c表示出来; (2)求线段BM的长. 午练4　空间向量基本定理 1.C　=++=++=3i+2j+5k. 2.B　连接AN,因为N为CD的中点, 所以=(+), =-=(+)-=-++. 故选B. 3.A　对于A,假设a+b,a-c,b共面,可设a+b=λ(a-c)+μb(λ,μ∈R), 则方程组无解,a+b,a-c,b不共面,可以作为空间的一组基底,A正确; 对于B,∵c=(b+c)-(b-c),∴c,b+c,b-c共面,不能作为空间的一组基底,B错误; 对于C,∵b+c=(a+b+c)-a,∴b+c,a+b+c,a共面,不能作为空间的一组基底,C错误; 对于D,∵a=(a+b)+(a-b),∴a,a+b,a-b共面,不能作为空间的一组基底,D错误. 故选A. 4.D　因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, 所以EH∥FG∥BD,EF∥GH∥AC, 所以E,F,G,H四点共面,且四边形EFGH为平行四边形,故M为EG的中点. 因为+=2,+=2, 所以+++=2(+)=4,故k=4.故选D. 5.BCD　如图所示,令a=,b=,c=, 则x=,y=,z=, a+b+c=,由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理,b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面.故选BCD. 6.ABD　对于A,若a∥b,则a,b与任何向量均共面,故a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底,A正确; 对于B,若,,不能构成空间的一组基底,则,,共面,则A,B,M,N四点共面,B正确; 对于C,若+++=0,则=---,因为-1+(-1)+(-1)=-3≠1, 所以P,A,B,C四点不共面,C错误; 对于D,因为{a,b,c}是空间的一组基底,所以a,b,c不共面,若m=a+c,则a,b,m不共面,故也是空间的一组基底,D正确.故选ABD. 7.(++)　∵2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++, ∴=(++). 8.5　由题意知,设=a,=b,=c, 则=+=++=a+b+c, 所以||2=|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c.又AB=3,AD=2,AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=, 所以a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=25, 即=25,所以AC1=5. 故答案为5. 9.解 (1)∵,,不在同一平面内,且不为零向量, ∴{a,b,c}能构成空间的一个基底. (2)=+=++=a+b+c, =+=+=c-b, =++=++=a+c-b,