6.1.3 共面向量定理 午练-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练3　共面向量定理 1.对于空间中的任意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是(　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 2.在下列条件中,M与A,B,C一定共面的是(　　) A.=3 B. C. D. 3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有如下关系:,则(　　) A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面 4.已知O为空间任意一点,A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,且=m+2,则m的值为(　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.1 5.(多选题)下列命题是真命题的有(　　) A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面 B.若p与a,b共面,则p=xa+yb C.若=x+y,则P,M,A,B四点共面 D.若P,M,A,B四点共面,则=x+y 6.(多选题)以下能判定空间四点P,M,A,B共面的条件有(　　) A.=2+3 B. C.=0 D. 7.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3.若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.  8.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,点P满足+2=6-3,则P与平面ABC的关系是　　　　.  9.如图,在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,D,M,N分别为BC,AB,OB的中点. (1)试用a,b,c表示向量; (2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四点共面. 10.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使=k.求证:E,F,G,H四点共面. 午练3　共面向量定理 1.A　若a,b不共线,则由空间共面向量定理知a,b,2a+4b共面;若a,b共线,则a,b,2a+4b共线,也共面.故选A. 2.A　利用空间向量共面定理可知,只有A选项其系数之和为3+(-1)+(-1)=1,即M,A,B,C四点共面.故选A. 3.B　因为++=1,所以P,A,B,C四点必共面,故选B. 4.B　因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,所以根据共面向量基本定理,存在x,y∈R,使得=x+y.因为=-,=-,=-,所以-=x(-)+y(-),即=(1-x-y)+x+y.因为=m+2+,所以解得m=-2,故选B. 5.AC　对于选项A,由共面向量定理得p与a,b共面,A是真命题;对于选项B,若a,b共线,则p不一定能用a,b表示出来,B是假命题;对于选项C,若=x+y,则,,三个向量在同一个平面内,P,M,A,B四点共面,C是真命题;对于选项D,若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不成立,D是假命题. 6.ABD　若=2+3,结合向量基本定理知,,为共面向量,故P,M,A,B四点共面,A正确;若=++,且++=1,结合向量共面的性质知P,M,A,B四点共面,B正确;若·=0,则PM⊥AB,所以直线PM,AB的位置关系为异面或相交,故P,M,A,B四点不一定共面,C错误;若∥,则直线PM,AB的位置关系为平行或重合,故P,M,A,B四点共面,D正确.故选ABD. 7.1　因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,则11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)e3, 则解得故答案为1. 8.P在平面ABC内　(方法一)∵3-3=+2-3=(-)+(2-2),∴3=+2,即=-2-3,∴点P与点A,B,C共面,即P在平面ABC内. (方法二)由题意得=++, ∵++=1,且A,B,C三点不共线, ∴点P与点A,B,C共面,即P在平面ABC内. 9.(1)解 =-=-a. 因为=+, 而=,=-, 又D为BC的中点,所以=(+), 所以=+=+(-)=+×(+)-=(++)=(a+b+c). (2)证明 因为=-, ==×(+)=(b+c), 所以=(b+c)-(a+b+c)=-a=-,=-,所以=. 所以M,N,G,H四点共面. 10.证明 因为====k,所以 =k,=k,=k,=k. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以 =+, 因此=-=k-k=k =k(+)=k(-+-) =-+-=+. 由向量共面的充要条件可知,,,共面. 又,,过同一点E,所以E,F,G,H四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $$