2.1平均变化率与瞬时变化率(同步课件)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

2.1平均变化率与瞬时变化率 1 .1平均变化率 实例1：物体从某一时刻开始运动，设S表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t). 在运动的过程中测得了一些数据，见表2 - 1. 物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？ 解:通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢. 在0s到2s这段时间内，物体的平均速度为 = 3(m/s)； 在10s到13s这段时间内，物体的平均速度为 = 4(m/s). 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 解 :根据图象可以看出： 当时间x从0 min到20 min时，体温y从39℃变为38.5 ℃,下降了0.5 ℃ ； 当时间x从20 min到30 min时，体温y从38.5 ℃变为38 ℃,下降了0.5 ℃. 两段时间下降了相同的体温，而后一段时间比前一段短，所以体温从20 min到30 min 这段时间下降得比从0 min到20 min这段时间快. 也可以比较在这两段时间内，体温的平均变化率（单位时间内体温的平均变化量), 于是,当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 （℃/min）； 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 （℃/min）； 这里出现了负号，它表示体温下降了.显然，绝对值越大，下降得越快. 因此,体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.     o x y 容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”. 如何量化陡峭程度呢？ 该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之间这一段的平均变化率. ●B ●A ●C 交流与讨论 6 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x,函数值的变f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 用它来刻画函数值在区间［ x1, x2]上变化的快慢. 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1) 抽象概括：平均变化率 对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2), 它在区间［ x1, x2]的 平均变化率 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 理解 3、变式: 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么? x y o B x2 f (x2) A x1 f (x1) f (x2)-f (x1) x2-x1 直线AB的斜率 y=f (x) 思考 直线AB的斜率 A B 思考 思考： 函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 = 的几何意义是什么？ Δy Δx f(x2) – f(x1) x2 – x1 答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率 例1 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。 解：△y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2 例2、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？ 一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k. 13 练习 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx D 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. A △x+2x0