5.2.2 导数的四则运算法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5.2.2　导数的四则运算法则 [学习目标]　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 知识点一　f(x)±g(x)的导数 设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 提示：设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x， Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx， ＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2， y′＝ ＝3x2＋1， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1， 所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)． 设y＝f(x)－g(x)＝x3－x， Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx， ＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2， y′＝ ＝3x2－1， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1， 所以[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 　　两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． [记结论]　两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. 解析：　(1)y′＝′－′＋′＝5x4－3x2－sin x. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex. 方法技巧 　　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可． 即时练1.求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－x2－6x＋2. 解析：　(1)因为f(x)＝x2＋sin x， 所以f′(x)＝2x＋cos x. (2)因为g(x)＝x3－x2－6x＋2， 所以g′(x)＝3x2－3x－6. 知识点二　f(x)g(x)和的导数 设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？ 提示：因为[f(x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3， f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2， ′＝(x2)′＝2x，＝＝3x2， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)， ′≠. 1．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． 2．′＝(g(x)≠0)． [记结论]　两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．可推广到有限个函数的函数乘积的导数，即：①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)； ②[u(x)v(x)…w(x)]′＝u′(x)v(x)…w(x)＋u(x)v′(x)…w(x)＋…＋u(x)v(x)…w′(x)． 学生用书第56页 求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (2)y＝； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝. 解析：　(1)法一：可以先展开再求导： y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3. 法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. (2)把函数的解析式整理变形可得： y＝＝＝1－， 所以y′＝－ ＝. (3)根据求导法则进行求导可得： y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(3e)xln 3e－2xln 2. (4)利用除法的求导法则进行求导可得： y′＝ ＝＝. [变式探究]　(变条件)若将例2中的函数变为y＝，求其导数． 解析：　y′＝′＝＝＝. 方法技巧 利用导数的四则运算法则求函数导数的策略 1．分析待求导的式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． 2．如果待求式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导，尽量少用积、商的求导法则求导． 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝ex cos x－3xln x； (3)y＝. 解析：　(1)法一：y′＝