第3章 防范易错专栏(五)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

易错点　二项分布与超几何分布 [防范秘诀] 超几何分布描述的是不放回抽样，而二项分布描述的是有放回抽样问题，超几何分布概率的计算问题实质上是古典概型问题，而二项分布中的概率计算问题实质上是相互独立事件的概率问题，这是两者的主要区别，也是易错点，但是当个数很大时超几何分布近似二项分布． [对点补救] 1．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2天”，求事件M发生的概率． 解析：　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为， 故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B. 且M＝{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}． 由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥， 且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立， 从而由(1)知： P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}) ＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0) ＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0) ＝×＋×＝. 2．为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛，某市重点中学准备举办一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示： 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 20 15 15 10 (1)从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率； (2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X，求随机变量X的分布列． 解析：　(1)从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为C＝1 770， 且这2人在同一班级的基本事件个数为C＋C＋C＋C＝445， 故所求概率P＝＝. (2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 3.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 解析：　(1)X可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝， P(X＝20)＝C×2×1＝， P(X＝100)＝3＝， P(X＝－200)＝3＝. 所以X的分布列为 X 10 20 100 －200 P (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为. 学生用书第104页 4.“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市为了了解全市居民佩戴口罩的现状，以便更好的做好宣传发动工作，主管部门随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们每天戴口罩的时长分为6段：[0,2)，[2,4)，…，[10,12]，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表． 时长/h [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 频数 5 10 25 35 15 10 (1)若将频率作为概率．从全市居民中随机抽取3人，记“抽出的3人中至少有1人戴口罩时长不足8小时”为事件A，求事件A发生的概率； (2)现从戴口罩时长在[0,2)、[2,4)、[4,6)的样本中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示戴口罩时长在[2,4)内的人数，求X的分布列． 解析：　(1)居民中随机抽取1人戴口罩时长不足8小时的概率为P＝1－＝，随机抽取3人，其中戴口罩时长不足8小时的人数为Z，则Z～B.P(A)＝P(Z≥1)＝1－P(Z＝0)＝1－C3＝； (2)在[0,2)、[2,4)、[4,6)