第3章 3.1.4 全概率公式 3.1.5 贝叶斯公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（湘教版2019）

第3章 <<< 3.1.4　全概率公式　 *3.1.5　贝叶斯公式 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2.理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式,并会简单应用. 学习目标 王先生从家到公司有两条路可以选择,其中第一条路拥堵的概率是0.3,第二条路拥堵的概率是0.4,王先生选择第一条路的概率是0.5,选择第二条路的概率是0.3,那么王先生上班迟到的概率是多少?这个概率怎么计算呢? 导 语 一、全概率公式的概念 二、全概率公式的应用 课时对点练 *三、贝叶斯公式 随堂演练 内容索引 全概率公式的概念 一 有两个箱子,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,这些球除颜色外完全相同,某人从中随机取一箱,再从中任意取出一球,求取得红球的概率. 问题1 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2),事件A表示“取得红球”,其中B1,B2互斥,A发生总是伴随着B1,B2之一同时发生,即A=B1A∪B2A,且B1A, B2A互斥,运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A),再对 求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+ ×=. 因此,取得红球的概率为. 1.全概率公式 设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足(1)AiAj= (i≠j), (2)A1∪A2∪A3∪…∪An=___, (3)P(Ai)>0,i=1,…,n, 则对任一事件B,有P(B)= = ∅ P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) Ω 知识梳理 2.全概率公式的意义 如图,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即 P(B)= 注 意 点 <<< 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式,解题时需要把题中随机事件合理拆分. 10 (课本例9)　利率变化是影响某金融产品价格的重要因素.经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下价格上涨的概率为40%.求该金融产品价格上涨的概率. 例 1 11 记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”. 记事件B为“该金融产品价格上涨”，根据题意有P(A)=0.6，P()=0.4，P(B|A)=0.8， P(B|)=0.4. 因为P(B)=P(AB∪B)， 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.6×0.8+0.4×0.4=0.64. 因此该金融产品价格上涨的概率为0.64. 12 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 例 1 13 如果用事件A1,A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”,事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B⊆Ω, 由题意可知,P(A1)=,P(A2)=, 且P(B|A1)=,P(B|A2)=. 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 14 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用概率的乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 两个事件的全概率问题求解策略 反 思 感 悟 15 　设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率. 跟踪训练 1 16 设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”, Ai=“提出的一台是第i车间生产的”,i=1,2, 则B=A1B∪A2B, 由题意得P(A1)=0.4,P(A2)=0.6, P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88, 由全概率公式得 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 17 二 全概率公式的应用 (课本例10)　某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率. 例 2 19 设A1=“抽到甲厂的产品”，A2=“抽到乙厂的产品”，A3=“抽到丙厂的产品”，B=“抽到不合格品”， 则A1，A2，A3两两互斥，且Ω=A1∪A2∪A3. 于是B=B(A1∪A2∪A3)=BA1∪BA2∪BA3. 由题意可知BA1，BA2，BA3两两互斥，因而有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3). 又P(A1)=0.4，P(A2)=0.45，P(A3)=0.15， P(B|A1)=0.01，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.03， 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.4×0.01+0.45×0.02+0.15×0.03 =0.017 5. 20 某投篮小组共有20名投手,其中一级投手4人,二级投手8人,三级投手8人,一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率. 例 2 21 设事件Ai=“选出的是i级投手”,i=1,2,3,事件B=“选出的投手能通过选拔进入比赛”, 则A1∪A2∪A3=Ω,且A1,A2,A3两两互斥. 由题意知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 且P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.4, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×0.9+×0.7+×0.4=0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 22 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. “化整为零”求多事件的全概率问题 反 思 感 悟 23 　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞盘必定被击落,求飞盘被击落的概率. 跟踪训练 2 24 设B=“飞盘被击落”,Ai=“飞盘被i人击中”,i=1,2,3,则B=A1B+A2B+A3B, 依题意,得P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1. 由全概率公式知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3), 设Hi=“飞盘被第i人击中”,i=1,2,3, 则P(A1)=P(H1+H2+H3), P(A2)=P(H1H2+H1H3+H2H3), P(A3)=P(H1H2H3), 25 又P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7, 所以P(A1)=0.36,P(A2)=0.41,P(A3)=0.14, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.即飞盘被击落的概率为0.458. 26 贝叶斯公式 *三 在问题1的条件下求某人从中随机取一箱,再从中任意取出一球,若取出的是红球,则此球来自1号箱的概率为多少? 问题2 提示　由问题1得,P(B1)=,P(B2)=, P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A)=, P(AB1)=P(B1)P(A|B1)=×=. P(B1|A)===. 1.贝叶斯公式的概念 一般地,当P(A)>0且P(B)>0时, 有P(B|A)==____________________. 2.贝叶斯公式的推广 设A1,A2,…,An满足AiAj=∅(i≠j),且A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2, …,n),则对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)== 知识梳理 (课本例11)　张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6，0.4.如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示. 例 3 结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率. 30 设B=“迟到”，A=“乘汽车”，则=“乘飞机”. 根据题意，有P(A)=0.6，P()=0.4， P(B|A)=，P(B|)=. 由贝叶斯公式，有P(A|B)= ==. 因此，张宇乘的是汽车的概率为. 31 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参赛.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6,0.5,0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率; 例 3 32 记事件B=“小明获胜”,事件Ai=“小明与第i类棋手比赛”, 由题可得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4, P=0.6,P=0.5,P=0.4. 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P+P(A2)P+P(A3)P =0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485. 33 (2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. P====. 即如果小明获胜,则对手为一类棋手的概率为. 34 (1)利用全概率公式计算P(A), 即P(A)= (2)计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解. (3)代入P(B|A)=求解. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 反 思 感 悟 35 5个袋子中放有白球和黑球,其中1号袋中白球占,另外2,3,4, 5号4个袋子中白球都占,从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个 球,结果是白球,求这个球来自1号袋中的概率. 跟踪训练 3 36 设Ai=“取到第i号袋子”,i=1,2,3,4,5. B=“取到白球”, 根据题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=P(B|A3)=P(B|A4)=P(B|A5)=, 由贝叶斯公式得, P(A1|B)= ==. 所以这个球来自1号袋中的概率为. 37 1.知识清单: (1)全概率公式. (2)*贝叶斯公式. 2.方法归纳:化整为零、转化化归. 3.常见误区:事件拆分不合理或不全面. 课堂小结 随堂演练 四 因为P(BA)=P(A)P(B|A),P(B)=P()P(B|),所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6. 1 2 3 4 1.已知P(BA)=0.4,P(B)=0.2,则P(B)的值为 A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 √ 2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 以A1,A2,A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”,B表示“取得的X光片为次品”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, 由全概率公式,得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×+×+×=. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题,学生小王能完整做对其中5道题,在剩下的3道题中,有2道题有思路,还有1道完全没有思路,有思路的题做对的概率为,没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1道题,则他做对的概率为　　　　.  设小王从这8道题中任选1道题且做对为事件A,选到能完整做对的5道题为事件B,选到有思路的2道题为事件C,选到完全没有思路的题为事件D,则P(B)=,P(C)==,P(D)=,由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+ P(C)·P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知小明每天步行上学的概率为0.6,骑自行车上学的概率为0.4,且步行上学有0.05的概率迟到,骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学 迟到了,则他今天骑自行车上学的概率为　　　.  设A=“小明步行上学”,B=“小明骑自行车上学”,C=“小明迟到”, 由已知得P(A)=0.6,P(B)=0.4, P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.02, 由全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.02=0.038, 利用条件概率可得P(B|C)====, 即所求的概率为. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人验血结果为阳性,患者中有2%的人验血结果为阴性,随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为 A.0.068 9 B.0.049 C.0.024 8 D.0.02 随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为 P=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8. 基础巩固 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知甲袋中有6只红球和4只白球,乙袋中有8只红球和6只白球,随机取一袋,再从袋中任取一球,发现是红球,则此球来自甲袋的概率为 A. B. C. D. P==. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为50%,15%,10%,5%,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为 A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥,设B表示“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”, 则P(B)= =95.5%×50%+2%×15%+1.5%×10%+1%× 5%=0.482 5. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份,7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中先后取出两份,则先取到的一份为女生报名表的概率为 A. B. C. D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设A表示“先取到的是女生报名表”,Bi表示“取到第i个地区的报名表”,i=1,2,3, 则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥, ∴P(A)= =×+×+×=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.长白飞瀑,高句丽遗迹,鹤舞向海,一眼望三国,伪满皇宫,松江雾凇,净月风光,查干冬捕,是著名的吉林八景,某人打算到吉林旅游,冬季来的概率是, 夏季来的概率是.如果冬季来,则看不到长白飞瀑,鹤舞向海和净月风光;若 夏季来,则看不到松江雾凇和查干冬捕,无论什么时候来,由于时间原因,只能在可去景点当中选择两处参观,则某人去了“一眼望三国”景点的概率为 A. B. C. D. 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设事件A1=“冬季去吉林旅游”,事件A2=“夏季去吉林旅游”,事件B=“去了一眼望三国”, 则P(A1)=,P(A2)=, 在冬季去了“一眼望三国”的概率P(B|A1)==, 在夏季去了“一眼望三国”的概率P(B|A2)==, 所以去了“一眼望三国”的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= ×+×=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球,其中4个红球,2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球,摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球,摸到红球”,事件B表示“第2次摸球,摸到红球”,则下列结论正确的是 A.P(A)= B.P(B)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(A)==,故A正确; P(B|A)===, P(B|)===. 由全概率公式可知, P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=. 故BC错误,D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.学校有a,b两个餐厅,如果王同学早餐在a餐厅用餐,那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是;如果他早餐在b餐厅用餐,那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是,那么他午餐在a餐厅用餐的概率 是　　　.  13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设A1表示“早餐去a餐厅用餐”,B1表示“早餐去b餐厅用餐”,A2表示“午餐去a餐厅用餐”,且P(A1)+P(B1)=1, 根据题意得P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=, 由全概率公式可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.有一台用来检验产品质量的仪器,已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99,而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005,已知产品的次品率为4%,若一产品经检验被认为是次品,则它确实为次品的概率约为 　　　　(精确到小数点后三位).  13 14 15 16 0.892 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设A=“产品经检验被认为是次品”,B=“产品确实为次品”, 由题意知,P(B)=0.04,P()=0.96, P(A|B)=0.99,P(A|)=0.005, 由贝叶斯公式得,所求概率为 P(B|A)==≈0.892. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.袋中装有8只红球,2只黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次,求下列事件的概率. (1)取出的两球都是红球; 13 14 15 16 设事件A1表示“第一次取到的是红球”,A2表示“第二次取到的是红球”. 根据题意知P(A1)=,P()=, P(A2|A1)=, P(|)=,P(A2|)=. (1)P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P()=P()P(|)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)取出的两球都是黑球; 13 14 15 16 由全概率公式得, P(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)·P()=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)第二次取出的是红球. 13 14 15 16 从甲箱中任取2个“青团”的事件数为=21, 这2个“青团”馅不同的事件数为=12, 所以这2个“青团”馅不同的概率为P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心,据考证“青团”之称大约始于唐代,已有1 000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”. (1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率; 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率. 13 14 15 16 设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”, 事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”, 事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”, 事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅,1个肉松馅”, 则B1,B2,B3彼此互斥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(B1)===,P(B2)===, P(B3)===,P(A|B1)=, P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=, 所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列式子中成立的为 A.P(A|B)= B.P(AB)=P(A)P(B|A) C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) D.P(A|B)= 综合运用 √ √ 13 14 15 16 √ 由条件概率的计算公式知A错误; B,C显然正确; D选项中,因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|), 所以P(A|B)==, 故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若从数字1,2,3,4中任取一个数,记为x,再从1,…,x中任取一个数记为y,则y=2的概率为 A. B. C. D. 设事件Ai表示“取出x=i”,i=1,2,3,4,易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=, 事件B表示“取到y=2”,则P(B|A1)=0,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=, 所以P(B)= =×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x(x∈N)个白球、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于,则x的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“第一次从甲盒取出白球、红球、黑球”分别为事件A1,A2,A3,“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”为事件B, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=·+·+·= ≥, 解得x≤6,则x的最大值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为;用未校准的枪射击时,中靶的概率为.现从8支枪中任取一支 用于射击,结果中靶,则所用的枪是校准过的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B1表示“使用的枪校准过”,B2表示“使用的枪未校准”,A表示“射击时中靶”, 则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=. 由贝叶斯公式得 P(B1|A)===. 所以所用的枪是校准过的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.盒中有a朵红花,b朵黄花,现随机从中取出1朵,观察其颜色后放回,并放入同色花c朵,再从盒中随机取出1朵花,则第二次取出的是黄花的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 13 14 15 16 √ 设A表示“第一次取出的是黄花”,B表示“第二次取出的是黄花”,则B=AB∪B,由全概率公式知P(B)=P(A)(B|A)+P()P(B|), 由题意P(A)=,P(B|A)=, P()=,P(B|)=, 所以P(B)=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数以所占比例为2∶3∶5混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥, 由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. 由全概率公式得P(A)= =0.2×0.95+0.3×0.9+0.5× 0.8=0.86. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由贝叶斯公式得 P(B1|A)===, P(B2|A)===, P(B3|A)====. 由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小. (2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$ 3.1.4　全概率公式　*3.1.5　贝叶斯公式 [学习目标]　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.2.理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式,并会简单应用. 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择,其中第一条路拥堵的概率是0.3,第二条路拥堵的概率是0.4,王先生选择第一条路的概率是0.5,选择第二条路的概率是0.3,那么王先生上班迟到的概率是多少?这个概率怎么计算呢? 一、全概率公式的概念 问题1　有两个箱子,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,这些球除颜色外完全相同,某人从中随机取一箱,再从中任意取出一球,求取得红球的概率. 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2),事件A表示“取得红球”,其中B1,B2互斥,A发生总是伴随着B1,B2之一同时发生,即A=B1A∪B2A,且B1A,B2A互斥,运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A),再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=. 因此,取得红球的概率为. 知识梳理 1.全概率公式 设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足(1)AiAj=∅(i≠j), (2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω, (3)P(Ai)>0,i=1,…,n, 则对任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=. 2.全概率公式的意义 如图,B发生的概率与P(BAi)(i=1,2,…,n)有关,且B发生的概率等于所有这些概率的和,即 P(B)=. 注意点: 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式,解题时需要把题中随机事件合理拆分. 例1　(课本例9)　利率变化是影响某金融产品价格的重要因素.经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下价格上涨的概率为40%.求该金融产品价格上涨的概率. 解　记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”. 记事件B为“该金融产品价格上涨”，根据题意有P(A)=0.6，P()=0.4，P(B|A)=0.8， P(B|)=0.4. 因为P(B)=P(AB∪B)， 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.6×0.8+0.4×0.4=0.64. 因此该金融产品价格上涨的概率为0.64. 例1　某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解　如果用事件A1,A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”,事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B⊆Ω, 由题意可知,P(A1)=,P(A2)=, 且P(B|A1)=,P(B|A2)=. 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用概率的乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 跟踪训练1　设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率. 解　设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”, Ai=“提出的一台是第i车间生产的”,i=1,2, 则B=A1B∪A2B, 由题意得P(A1)=0.4,P(A2)=0.6, P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88, 由全概率公式得 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 二、全概率公式的应用 例2　(课本例10)　某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率. 解　设A1=“抽到甲厂的产品”，A2=“抽到乙厂的产品”，A3=“抽到丙厂的产品”，B=“抽到不合格品”， 则A1，A2，A3两两互斥，且Ω=A1∪A2∪A3. 于是B=B(A1∪A2∪A3)=BA1∪BA2∪BA3. 由题意可知BA1，BA2，BA3两两互斥，因而有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3). 又P(A1)=0.4，P(A2)=0.45，P(A3)=0.15， P(B|A1)=0.01，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.03， 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.4×0.01+0.45×0.02+0.15×0.03 =0.017 5. 例2　某投篮小组共有20名投手,其中一级投手4人,二级投手8人,三级投手8人,一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率. 解　设事件Ai=“选出的是i级投手”,i=1,2,3,事件B=“选出的投手能通过选拔进入比赛”, 则A1∪A2∪A3=Ω,且A1,A2,A3两两互斥. 由题意知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 且P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.4, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =×0.9+×0.7+×0.4=0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 跟踪训练2　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞盘必定被击落,求飞盘被击落的概率. 解　设B=“飞盘被击落”,Ai=“飞盘被i人击中”,i=1,2,3,则B=A1B+A2B+A3B, 依题意,得P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1. 由全概率公式知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3), 设Hi=“飞盘被第i人击中”,i=1,2,3, 则P(A1)=P(H1+H2+H3), P(A2)=P(H1H2+H1H3+H2H3), P(A3)=P(H1H2H3), 又P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7, 所以P(A1)=0.36,P(A2)=0.41,P(A3)=0.14, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.即飞盘被击落的概率为0.458. *三、贝叶斯公式 问题2　在问题1的条件下求某人从中随机取一箱,再从中任意取出一球,若取出的是红球,则此球来自1号箱的概率为多少? 提示　由问题1得,P(B1)=,P(B2)=, P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A)=, P(AB1)=P(B1)P(A|B1)=×=. P(B1|A)===. 知识梳理 1.贝叶斯公式的概念 一般地,当P(A)>0且P(B)>0时, 有P(B|A)==. 2.贝叶斯公式的推广 设A1,A2,…,An满足AiAj=∅(i≠j),且A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==. 例3　(课本例11)　张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6，0.4.如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示. 结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率. 解　设B=“迟到”，A=“乘汽车”，则=“乘飞机”. 根据题意，有P(A)=0.6，P()=0.4， P(B|A)=，P(B|)=. 由贝叶斯公式，有P(A|B)= ==. 因此，张宇乘的是汽车的概率为. 例3　某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参赛.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6,0.5,0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率; (2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 解　(1)记事件B=“小明获胜”,事件Ai=“小明与第i类棋手比赛”, 由题可得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4, P=0.6,P=0.5,P=0.4. 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P+P(A2)P+P(A3)P =0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485. (2)P====. 即如果小明获胜,则对手为一类棋手的概率为. 反思感悟　 利用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)利用全概率公式计算P(A), 即P(A)=. (2)计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解. (3)代入P(B|A)=求解. 跟踪训练3　5个袋子中放有白球和黑球,其中1号袋中白球占,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占,从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,求这个球来自1号袋中的概率. 解　设Ai=“取到第i号袋子”,i=1,2,3,4,5. B=“取到白球”, 根据题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4) =P(A5)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=P(B|A3)=P(B|A4)=P(B|A5)=, 由贝叶斯公式得, P(A1|B)= ==. 所以这个球来自1号袋中的概率为. 1.知识清单: (1)全概率公式. (2)*贝叶斯公式. 2.方法归纳:化整为零、转化化归. 3.常见误区:事件拆分不合理或不全面. 1.已知P(BA)=0.4,P(B)=0.2,则P(B)的值为(　　) A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 答案　C 解析　因为P(BA)=P(A)P(B|A),P(B)=P()P(B|),所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6. 2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以A1,A2,A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”,B表示“取得的X光片为次品”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, 由全概率公式,得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=. 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题,学生小王能完整做对其中5道题,在剩下的3道题中,有2道题有思路,还有1道完全没有思路,有思路的题做对的概率为,没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1道题,则他做对的概率为　　　　.  答案　 解析　设小王从这8道题中任选1道题且做对为事件A,选到能完整做对的5道题为事件B,选到有思路的2道题为事件C,选到完全没有思路的题为事件D,则P(B)=,P(C)==,P(D)=,由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)·P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=. 4.已知小明每天步行上学的概率为0.6,骑自行车上学的概率为0.4,且步行上学有0.05的概率迟到,骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学迟到了,则他今天骑自行车上学的概率为　　　.  答案　 解析　设A=“小明步行上学”,B=“小明骑自行车上学”,C=“小明迟到”, 由已知得P(A)=0.6,P(B)=0.4, P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.02, 由全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.02=0.038, 利用条件概率可得P(B|C)====, 即所求的概率为. 课时对点练　[分值:100分] 单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共12分 1.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人验血结果为阳性,患者中有2%的人验血结果为阴性,随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为(　　) A.0.068 9 B.0.049 C.0.024 8 D.0.02 答案　C 解析　随机抽取一人进行验血,则其验血结果为阳性的概率为P=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8. 2.已知甲袋中有6只红球和4只白球,乙袋中有8只红球和6只白球,随机取一袋,再从袋中任取一球,发现是红球,则此球来自甲袋的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　P==. 3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为50%,15%,10%,5%,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5 答案　C 解析　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥,设B表示“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则P(B)==95.5%×50%+2%×15%+1.5%×10%+1%×5%=0.482 5. 4.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份,7份和5份,随机地取一个地区的报名表,从中先后取出两份,则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设A表示“先取到的是女生报名表”,Bi表示“取到第i个地区的报名表”,i=1,2,3, 则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥, ∴P(A)= =×+×+×=. 5.长白飞瀑,高句丽遗迹,鹤舞向海,一眼望三国,伪满皇宫,松江雾凇,净月风光,查干冬捕,是著名的吉林八景,某人打算到吉林旅游,冬季来的概率是,夏季来的概率是.如果冬季来,则看不到长白飞瀑,鹤舞向海和净月风光;若夏季来,则看不到松江雾凇和查干冬捕,无论什么时候来,由于时间原因,只能在可去景点当中选择两处参观,则某人去了“一眼望三国”景点的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件A1=“冬季去吉林旅游”,事件A2=“夏季去吉林旅游”,事件B=“去了一眼望三国”, 则P(A1)=,P(A2)=, 在冬季去了“一眼望三国”的概率P(B|A1)==, 在夏季去了“一眼望三国”的概率P(B|A2)==, 所以去了“一眼望三国”的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 6.(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球,其中4个红球,2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球,摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球,摸到红球”,事件B表示“第2次摸球,摸到红球”,则下列结论正确的是(　　) A.P(A)= B.P(B)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 答案　AD 解析　P(A)==,故A正确; P(B|A)===, P(B|)===. 由全概率公式可知, P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =×+×=. 故BC错误,D正确. 7.(5分)学校有a,b两个餐厅,如果王同学早餐在a餐厅用餐,那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是;如果他早餐在b餐厅用餐,那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是,那么他午餐在a餐厅用餐的概率是　　　　.  答案　 解析　设A1表示“早餐去a餐厅用餐”,B1表示“早餐去b餐厅用餐”,A2表示“午餐去a餐厅用餐”,且P(A1)+P(B1)=1, 根据题意得P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,由全概率公式可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=. 8.(5分)有一台用来检验产品质量的仪器,已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99,而一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005,已知产品的次品率为4%,若一产品经检验被认为是次品,则它确实为次品的概率约为　　　　(精确到小数点后三位).  答案　0.892 解析　设A=“产品经检验被认为是次品”,B=“产品确实为次品”, 由题意知,P(B)=0.04,P()=0.96, P(A|B)=0.99,P(A|)=0.005, 由贝叶斯公式得,所求概率为 P(B|A)= =≈0.892. 9.(10分)袋中装有8只红球,2只黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次,求下列事件的概率. (1)取出的两球都是红球;(3分) (2)取出的两球都是黑球;(3分) (3)第二次取出的是红球.(4分) 解　设事件A1表示“第一次取到的是红球”,A2表示“第二次取到的是红球”. 根据题意知P(A1)=,P()=, P(A2|A1)=, P(|)=,P(A2|)=. (1)P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. (2)P()=P()P(|)=×=. (3)由全概率公式得, P(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)·P()=×+×=. 10.(11分)“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心,据考证“青团”之称大约始于唐代,已有1 000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”. (1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;(5分) (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率.(6分) 解　 (1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为=21, 这2个“青团”馅不同的事件数为=12, 所以这2个“青团”馅不同的概率为P==. (2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”, 事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”, 事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”, 事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅,1个肉松馅”, 则B1,B2,B3彼此互斥. P(B1)===,P(B2)===, P(B3)===,P(A|B1)=, P(A|B2)=,P(A|B3)=, 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=, 所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为. 11.(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列式子中成立的为(　　) A.P(A|B)= B.P(AB)=P(A)P(B|A) C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) D.P(A|B)= 答案　BCD 解析　由条件概率的计算公式知A错误;B,C显然正确; D选项中,因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|), 所以P(A|B)= =, 故D正确. 12.若从数字1,2,3,4中任取一个数,记为x,再从1,…,x中任取一个数记为y,则y=2的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件Ai表示“取出x=i”,i=1,2,3,4,易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=,事件B表示“取到y=2”,则P(B|A1)=0,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=, 所以P(B)= =×=. 13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球,乙盒中有x(x∈N)个白球、3个红球、2个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于或等于,则x的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　设“第一次从甲盒取出白球、红球、黑球”分别为事件A1,A2,A3,“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”为事件B, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=·+·+·=≥, 解得x≤6,则x的最大值为6. 14.(5分)8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为;用未校准的枪射击时,中靶的概率为.现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶,则所用的枪是校准过的概率为　　　　.  答案　 解析　设B1表示“使用的枪校准过”,B2表示“使用的枪未校准”,A表示“射击时中靶”, 则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=, P(A|B2)=. 由贝叶斯公式得 P(B1|A)= ==. 所以所用的枪是校准过的概率为. 15.盒中有a朵红花,b朵黄花,现随机从中取出1朵,观察其颜色后放回,并放入同色花c朵,再从盒中随机取出1朵花,则第二次取出的是黄花的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设A表示“第一次取出的是黄花”,B表示“第二次取出的是黄花”,则B=AB∪B,由全概率公式知P(B)=P(A)(B|A)+P()P(B|), 由题意P(A)=,P(B|A)=, P()=,P(B|)=, 所以P(B)=+=. 16.(12分)同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数以所占比例为2∶3∶5混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;(5分) (2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?(7分) 解　设事件A表示取到的产品为正品,B1,B2,B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥, 由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. (1)由全概率公式得P(A)==0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)===, P(B2|A)===, P(B3|A)====. 由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$