1.3.4 导数的应用举例-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．3.4　导数的应用举例 [学习目标]　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识点　优化问题 [问题导引1]　投入一定的成本如何获得最大的利润？ 提示：　建立利润的函数关系，求其最大值． [问题导引2]　制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？ 提示：　建立用料(费用)的函数关系，求其最小值． 优化问题 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这类问题通常称为优化问题． 点拨：　实际问题中不少优化问题，可以转化为最值问题，能转化为最值问题的实际问题这是本节课学习的重点． (2)解决优化问题的方法 利用导数解决优化问题的实质是求函数的最值． 点拨：　求函数最值的方法：(1)基本不等式；(2)常见的二次函数的最值问题；(3)求导法(对于复杂的函数关系)． (3)解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 点拨：　解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案． 学生用书第32页 角度一　用料最省(费用最低)问题 某企业要生产容积为V m3的圆柱形密闭容器(如图)，已知该容器侧面耗材为1元/m2，上下底面的耗材为1.5元/m2.问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径r m，使得费用最少？ 解析：　由题意可得，所需费用为 C＝2πrh×1＋2πr2×1.5＝2πrh＋3πr2. 由于容器的容积为V＝πr2h，从而πrh＝，因此 C(r)＝＋3πr2. 对C(r)关于r求导， 得C′(r)＝－＋6πr. 令C′(r)＝0， 解得r＝ . 当r∈(0, )时，C′(r)<0，则C(r)单调递减； 当r∈( ，＋∞)时，C′(r)>0，则C(r)单调递增． 因此，C(r)在r＝处取到极小值，也是最小值(如图)． 由r＝和V＝πr2h，得h＝3r＝3. 因此，当圆柱上下底面半径r＝，高h＝3r时，所需费用最少． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．　　 即时练1.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河岸的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解析：　如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)． ∴y′＝－3a＋.令y′＝0，解得x＝30(x＝－30舍去)， 在(0，50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 角度二　时间最短，利润最大问题 如图，让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端．斜面两端的水平距离为d，如何选择斜面和水平面之间的角度x，使木块从上端滑到下端所用的时间最短？ 解析：　如题图，由于木块在前进方向所受的力大小为mgsin x(g是重力加速度)，所以它的加速度大小为a＝gsin x. 由此得到木块的运动方程为s(t)＝gt2sin x. 又木块从上端到下端经过的路程为s＝， 于是＝gt2sin x. 解得t＝ . 由题意，要求的是上式右端关于变量x的最小值点，也就是函数f(x)＝sin xcos x＝(x∈(0，))的最大值点． 令f′(x)＝cos 2x＝0，解得x＝. 当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈(，)时，f′(x)<0. 因此，f(x)在x＝处取到极大值，也是最大值． 因此，当斜面和水平面之间的角度x＝时，木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端所用的时间最短． 木块的自由下滑，可以看作初速度为0的匀加速直线运动，以三角函数为模型的最值问题．　　 即时练2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解析：　(1)因为x＝5