1.1.2 瞬时变化率与导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．1　导数概念及其意义 1．1.1　函数的平均变化率　1.1.2　瞬时变化率与导数 [学习目标]　1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画实际的变化过程.2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数.3.体会导数的思想及其内涵，并能运用． 知识点一　平均速度与瞬时速度 [问题导引]　物体做自由落体运动的方程是h(t)＝gt2. (1)试求物体在[3，3＋d]这段时间内的平均速度． (2)当d趋近于0时，问题(1)中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度呢？ 提示：　(1)求h(3＋d)－h(3)＝g(3＋d)2－g·32＝3gd＋gd2， 平均速度＝＝3g＋gd. (2)当d趋近于0时，趋近于3g，即平均速度趋近于物体在t＝3时的瞬时速度． 1．平均速度 动点P在任何时刻的位置均可用f(t)表示，从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝． 点拨：　记牢求平均速度的公式，平均速度可正可负可为零． 2．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限． 点拨：　与平均速度的区别与联系：瞬时速度是平均速度的极限．求瞬时速度的步骤为：(1)求平均速度；(2)求极限． 角度一　平均速度 (1)设数轴上动点P在任何时刻t的位置均可用函数f(t)＝0.5t＋1表示，求该点P在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]． (2)某物体做自由落体运动，其运动方程为s(t)＝gt2，其中t为下落的时间(单位：s)，g为重力加速度，大小为9.8 m/s2.求它在时间段[1，3]内的平均速度． 解析：　(1)由于v[a，b]＝ ＝＝0.5， 所以点P在时间段[a，b]内的平均速度为0.5. (2)物体在时间段[1，3]内的平均速度为 ＝＝2g＝19.6(m/s). 学生用书第2页 直接代入平均速度的公式计算即可．例(1)中该动点在任何时间段的平均速度为0.5，因为做的是匀速运动且在任何时刻的速度都是0.5.通过两道例题我们知道图象上任意两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段AB的斜率等于动点在时间段[a，b]内的平均速度v[a，b]．　　 即时练1.质点运动规律s(t)＝t2＋3，则在时间(3，3＋d)内，相应的平均速度为 ． 解析：　＝＝d＋6. 答案：　d＋6 角度二　瞬时速度 运动员从10 m高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳t s后运动员相对水面的高度(单位：m)为H(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，计算在2 s时运动员的瞬时速度． 解析：　运动员在[2，2＋d](或[2＋d，2])这个时间区间内的平均速度为 ＝ ＝－13.1－4.9d. 在平均速度表达式－13.1－4.9d中，当d趋近于0时，－13.1－4.9d趋近于－13.1. 因此，在2 s时运动员的瞬时速度是－13.1 m/s. 步骤：(1)求平均速度；(2)d趋近于0时的极限．　　 即时练2.如果质点A沿直线运动，位移s与时间t之间的关系为s(t)＝3t2，那么质点A在t0＝3的瞬时速度为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．6 B．18 C．54 D．81 B　[＝＝18＋3d. 当d趋近于0时，18＋3d趋近于18.所以在t0＝3的瞬时速度为18.] 知识点二　函数的平均变化率 [问题导引]　假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． (1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ (2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 提示：　(1)自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy. (2)对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度． 函数的平均变化率 一般地，函数y＝f(x)，我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 点拨：　和平均速度相似，函数的平均变化率可正可负可为零，是一个比值，是函数值的“增量”与自变量的“增量”的比值， 其中自变量的“增量”可正可负不为零，函数值的“增量”可正可负可为零． (1)如图，在正弦曲线f(x)＝sin x上取两点A(，f())，B(π，f(π))，求直线AB的斜率． 学生用书第3页 (2)充满气