17.3 一元二次方程根的判别式课件 2023-2024学年沪科版八年级数学下册

第十七章 一元二次方程 17.3 一元二次方程根的判别式 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.能熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 2.会根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围（难点） 二、新课导入 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程是否有解，你想知道她是如何判断的吗？ (1)3x2+4x－3=0;(2)4x2=12x－9; (3)7y=5(y2+1);(4)x2+x-1=0 三、自主学习 回顾：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0). 解:移项，得ax2+bx=-c 二次元系数化为1，得 配方，得 即 接下来能否直接开平方求解？ 否 三、自主学习 因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况： （2）当b2－4ac=0时， =0,可直接开平方， （1）当b2－4ac>0时， >0,可直接开平方， （3）当b2－4ac<0时， <0,负数没有平方根，故不可直接开平方. 什么情况下可以直接开平方？什么情况下不可以直接开平方？ 三、自主学习 b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ= b2-4ac. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0 Δ≥0 问题提出：不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0 （2）4x2=12x－9 (3) 7y=5(y2+1) 问题探索：(1)a=3,b=4,c=-3 ∴△=b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0 ∴方程有两个不相等的实数根 四、合作探究 探究一：根据根的判别式判断方程根的情况 问题探索：根的情况由 的大小确定，由于Δ= ， 先确定 再计算出b2-4ac进行判断. Δ b2-4ac a、b、c (2)化为一般式：4x2-12x+9=0 a=4,b=-12,c=9 ∴△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) 7y=5(y2+1) 四、合作探究 探究一：根据根的判别式判断方程根的情况 (3)化为一般式：5y2-7y+5=0 a=5,b=-7,c=5 ∴△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0 ∴方程没有实数根 步骤： ①把方程先转化成一般形式,确定a,b,c的值； ②再计算出Δ的值； ③最后确定方程根的情况. 练一练 1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 B 四、合作探究 探究二：根据方程根的情况求字母系数的取值范围 已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k=0, 问题提出1：若方程有一根为2，求k值； 问题探索：已知方程一根，代回方程可得到关于k的一个一元一次方程 四、合作探究 问题探索：2是方程的一个根，则22×k-2(2k+1)+k=0 即k-2=0 解得k=2 探究二：根据方程根的情况求字母系数的取值范围 已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k=0, 问题提出2：当k取何值时，方程有实数根？ 问题探索：①一元二次方程满足二次项系数 ，即 ； ②一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ 0，即 . 四、合作探究 问题探索：a=k,b=-(2k+1),c=k ∴△=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4k2=4k+1 ∵方程有实数根 ∴△≥0，即4k+1≥0 解得k≥ ≥ 4k+1≥0 因为一元二次方程，则表明二次项系数k≠0 故k≥ 且k≠0时，方程有实数根 不为0 k≠0 注意事项： 1.根据题目判断判别式Δ的大小，从而求解字母系数的取值范围； 2.对于方程ax2+bx+c=0，二次项系数a含有求解的字母时，隐藏条件a≠0； 3.一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 四、合作探究 2.方程x2+a=ax有两个相等的实数根时，实数a的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.大于2 练一练 C 四、合作探究 五、当堂检测