2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块四 三角形 专题3 等腰三角形与直角三角形

2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块四 三角形 专题3 等腰三角形与直角三角形 知识梳理 线段垂直平分线 定义 垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线. 注意：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 注意：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.  等 腰 三 角 形 定义 两边相等的三角形叫做等腰三角形. 性质 ①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”; ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”; ④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.  判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”. 等 边 三 角 形 定义 三边相等的三角形是等边三角形. 性质 ①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°; ②“三线合一”; ③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.  判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.  直 角 三 角 形 性质 ①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半. ④勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 判定 ①有一个角是直角的三角形是直角三角形.  ②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ③勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 例题讲解 【题型一】线段的垂直平分线的性质与判定 【例1.1】（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝　 　． 【例1.2】（2023•浙江）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    【题型二】等腰三角形的性质与判定 【例2.1】（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（       ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【例2.2】（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 【例2.3】（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　 　． 【例2.4】（2023•天津）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）△ADE的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【题型三】等边三角形的性质与判定 【例3.1】（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则AB＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．8 【例3.2】（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 　　． 【例3.3】（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 　　． 【题型四】直角三角形的性质 【例4.1】（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 【例4.2】（2023•荆州）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．    【例4.3】（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 【题型五】勾股定理 【例5.1】（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角