2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块三 函数 专题4 二次函数

2024年中考数学第一轮复习 模块三 函数 专题4 二次函数 知识梳理 二次函数 定义 形如y=ax2+bx+c　(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数.  y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 开口向上；|a|越大，开口越小 开口向下；|a|越大，开口越小 对称轴是 顶点坐标是. 当x<时，y随x的增大而减小; 当x>时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当x<时，y随x的增大而增大; 当x>时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减. 抛物线有最低点, 当x=时，y有最小值，y最小值=. 抛物线有最高点, 当x=时，y有最大值，y最大值=. y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0 抛物线开口向上 抛物线开口向下 对称轴是，顶点坐标是. 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减. 抛物线有最低点 当x=h时，y有最小值,y最小值=k. 抛物线有最高点 当x=h时，y有最大值,y最大值=k. 平移规律 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 二次函数的解析式的确定 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0); （2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). （3）当已知抛物线与x轴的两个交点时，通常将函数的解析式设为交点式：y=a（x–x1）（x–x2）(a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标. 二次函数与一元二次方程的关系 Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ=0 两个相等的实数根 一个交点 Δ<0 无实数根 无交点 二次函数与不等式的关系 设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点，其中x1<x2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为x>x2或x<x1，不等式ax2+bx+c<0的解集为x1<x<x2.  二次函数 二次函数的实际应用 在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等 线段问题 1、确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）. 2、线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值） 3、线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，并进行解决。 面积问题 探究面积问题的备考方法如下： 1、设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标； 2、用含有未知数的代数式表示出图形的面积； 3、用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解； 4、特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值. 5、面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点坐标. 等腰三角形、菱形问题 法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，