2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程与不等式 专题2 一元二次方程

2024年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程与不等式 专题2 一元二次方程 知识梳理 一元二次 方 程 概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0. ★注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，因为当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 解一元二次方程的方法 （降次） （1）直接开平方法：形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ① 如果方程化成的形式，那么可得x＝±； ②如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． ★注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． （2）配方法：将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式 ★用配方法解一元二次方程的一般步骤为： ① 将方程变为一般式 ②化二次项系数a为1 ③常数项c移到右边 ④配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式 ⑤把方程变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，直接降次；如果q＜0，方程无实数根。 （3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 ★用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出的值（若，方程无实数根）； ③在的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②． （4）因式分解法：将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解． ★因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根的判别式 用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当b2-4ac<0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，其成立的前提条件是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，判别式b2－4ac≥0. 一元二次方程的实际问题 （1）平均增长/下降率问题： 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当m为平均下降率时，则有． （2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量 （3）面积问题 类型1：如图1所示的矩形长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． 类型2：如图2所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． 类型3：如图3所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 （4）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1) （5）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 第n轮总数：(1+x)n （6）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数 例题讲解 【题型一】一元二次方程的解 【例1.1】（2023·山东枣庄）若是关x的方程的解，则的值为___________． 【例1.2】（2023·四川内江）已知a、b是方程的两根，则___________． 【题型二】解一元二次方程 【例2.1】（2023·新疆）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（1）（2023·齐齐哈尔）x2﹣3x+2＝0． （2）（2023·无锡）解方程：2x2+x﹣2＝0； （3）（2022·齐齐哈尔）（2x+3）2＝（3x+2）2． 【题型三】根的判别式的应用 【例3.1】（2023·四川