4.3.2 第2课时 直线与平面垂直的判定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

第2课时　直线与平面垂直的判定 [课标解读]　1．从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．2．能从教材实例中归纳出直线与平面垂直的判定定理． 知识点一　直线与平面垂直 1．定义：如果直线l与平面α相交，并且与平面α内的所有直线都垂直，那么就称直线l与平面α垂直，记作l⊥α． 2．概念 垂线 直线l叫作平面α的垂线 垂面 平面α叫作直线l的垂面 垂足 直线与平面的交点 3．性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． [点拨]　定义中的“所有直线”与“任意一条直线”是同义语，不同于“无数条直线”，定义的实质就是直线和平面内所有直线都垂直，另外根据线面垂直的定义知道如果直线与平面垂直，那么该直线一定垂直于平面内的任意一条直线，符号语言：l⊥α，aαl⊥a． 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝Pl⊥α 图形语言 [点拨]　若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直．(　　) (2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．(　　) (3)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知平面α及α外一条直线l，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α； ③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α； ④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α． 其中正确说法的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．] 3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________． 解析：　∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC． 又BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB． ∴BC⊥PB．同理得CD⊥PD． 故共有4个直角三角形． 答案：　4 4．有下列四种说法，正确的序号是________． ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α． 解析：　①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，注意a，b需相交；④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况，故只有①正确． 答案：　① 学生用书第102页 探究点一　直线与平面垂直定义的理解 (多选)下列四个命题中，其中正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 CD　[l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确．故选CD．] 直线与平面垂直定义的理解 (1)直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直； (2)“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义．但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样．　　 即时练1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)． 解析：　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件． 答案：　①③④ 探究点二　直线与平面垂直的判定 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F． (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD． 证明：　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 所以PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE平面PAB， 所以AE⊥BC． 又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥