3.3.1 复数的几何意义及复数的模与共轭复数 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第1课时　复数的几何意义及复数的模与共轭复数 [学习目标]　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念． 导语 18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768－1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用增添某种新的概念来扩充实数系．在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法．使人们对复数不再有种神秘的印象．同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？ 一、复数的几何意义 问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示　复数a＋bi(a，b∈R)可以由有序实数对(a，b)唯一确定，复数可以和坐标平面上的点一一对应． 问题2　能用平面向量表示复数吗？ 提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数． 知识梳理 1．复平面：与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数．除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 例1　(1)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 答案　D 解析　由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，所以＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)， 所以对应的复数是5－5i. (2)在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：①在虚轴上；②在第二象限；③在y＝x的图象上，分别求实数m的值或取值范围． 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. ①由题意得m2－2m－8＝0， 解得m＝－2或m＝4. ②由题意得解得2<m<4. ③由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 反思感悟　(1)利用复数与点的对应关系解题的步骤 ①找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，这是解决此类问题的依据． ②列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，进而求解． (2)复数与平面向量的对应关系 ①根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即表示为复数对应的向量． ②解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 跟踪训练1　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 答案　C 解析　由复数的几何意义，可得 ＝(5，－4)，＝(－5,4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以＋对应的复数为0. (2)求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： ①在复平面内的x轴上方； ②在实轴负半轴上． 解　①∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. ②若复数z的对应点Z在实轴负半轴上， 则解得m＝1. 二、复数的模 知识梳理 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|.写成公式，即|a＋bi|＝，|z|＝表示点(a，b)到原点的距离． 注意点： (1)复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模可以比较大小． (2)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示复数z在复平面内对应的点Z(a，b)到原点的距离．类比向量的模可推广：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离． (3)复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是相等的． 例2　(1)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|等于(　　) A．2 B．2 C．4 D. 答案　A 解析　由题意可得x＋xi＝2＋yi，结合复数相等的充要条件可知则x＝y＝2.故|x＋yi|＝|2＋2i|＝＝2. (2)设z∈C，且z在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形． ①|z|＝3； ②1≤|z|≤2. 解　①方法一　|z|＝3说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆． 方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝3，得a2＋b2＝9.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆． ②不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合； 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合． 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界． 反思感悟　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 跟踪训练2　(1)设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　∵z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R， ∴|z|＝＝ ＝≥＝2(当且仅当x＝1时，取等号)． ∴|z|的最小值为2. (2)已知复数z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　由|z1|>|z2|，得x4＋x2＋1>(x2＋a)2. 则(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立． 当1－2a＝0，即a＝时，不等式>0成立． 当1－2a≠0，即a≠时， 解得－1<a<. 故实数a的取值范围为. 三、共轭复数 知识梳理 (1)对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数，记为.即＝a－bi.反过来也有＝a＋bi，因此＝z. (2)复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭． (3)共轭复数z与的积是一个实数，并且等于这个复数的模的平方，即z·＝|z|2＝||2. 例3　复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限． 反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 跟踪训练3　(多选)下列说法正确的是(　　) A．复数和其共轭复数都是成对出现的 B．实数不存在共轭复数 C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D．复数和其共轭复数的模相等 答案　AD 解析　由共轭复数的相关知识可知，AD正确． 1．知识清单： (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系． (2)复数的模． (3)共轭复数． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法． 3．常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小． 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限． 2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－2,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 答案　B 解析　∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得－2<m<1， 则实数m的取值范围是(－2,1)． 3．向量a＝(3,4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝________，||＝________. 答案　3－4i　5 解析　向量a对应的复数z＝3＋4i，则＝3－4i；||＝＝5. 4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________． 答案　2＋4i 解析　因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 所以A(6,5)，B(－2,3)， 又C为线段AB的中点， 所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i. 1．在复平面内，复数z＝1＋i的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　复数z＝1＋i的共轭复数为＝1－i， 故其共轭复数对应的点为，位于第四象限． 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 答案　B 解析　∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，∴向量对应的复数为－2＋i. 3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　) A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2| 答案　D 解析　|z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝，∵＜， ∴|z1|＜|z2|. 4．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 答案　A 解析　由|z|＝2知，＝2， 解得a＝±1， 又因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0， 故a＝－1，所以z＝－1＋i. 5．已知复数z满足|z|2－3|z|－4＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形(　　) A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 答案　A 解析　∵|z|2－3|z|－4＝0， ∴(|z|－4)(|z|＋1)＝0， ∴|z|＝4(|z|＝－1舍去)， ∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的一个圆． 6．(多选)18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．若复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，则向量对应的复数为9＋i C．若点Z的坐标为(－1,1)，则对应的点在第三象限 D．若复数z满足1≤|z|≤，则复数z对应的点所构成的图形面积为π 答案　BCD 解析　对于A，设z＝a＋bi，只需a2＋b2＝1即可，故A错误；对于B，因为复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，所以表示向量的复数为6＋5i－(－3＋4i)＝9＋i，故B正确；对于C，点Z的坐标为(－1,1)，则对应的点为(－1，－1)，在第三象限，故C正确；对于D，若复数z满足1≤|z|≤，则复数z对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为2π－π＝π，故D正确． 7．已知i为虚数单位，复数z＝2＋bi满足|z|＝，b∈R且b>0，则b＝________. 答案　3 解析　因为|z|＝，b∈R，且b>0，所以＝，解得b＝3. 8．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)在复平面上对应的点在虚轴上，则a＝________，|z|＝________. 答案　±1　2或0 解析　由题意知a2－1＝0，解得a＝±1， 则当a＝1时，z＝2i，|z|＝2； 当a＝－1时，z＝0，|z|＝0. 9．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2,1)． 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. 10．已知i为虚数单位，复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)，若存在实数t，使得＝－3ati成立． (1)求2a＋b的值； (2)求|z|的取值范围． 解　(1)由题意可得， a－bi＝－3ati＝＋i， 由复数相等的定义可得 消t并整理得2a＋b＝6. (2)|z|2＝a2＋b2＝a2＋(6－2a)2＝5a2－24a＋36＝52＋，即|z|≥， 所以|z|∈. 11．(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是(　　) A．若z1＋z2＝0，则z1＝0且z2＝0 B．若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0且z2＝0 C．若|z1|＝|z2|，则向量和重合 D．若|z1－z2|＝0，则1＝2 答案　BD 解析　A中，z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中，|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；C中，|z1|＝|z2|，说明||＝||，但与方向不一定相同；D中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2.故正确的为B，D选项． 12．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是(　　) A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i 答案　B 解析　复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i. 13．在▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i，3－5i，则点D对应的复数是(　　) A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i 答案　C 解析　由题意可得A(4,1)，B(3,4)，C(3，－5)， 设▱ABCD的对角线的交点为M(xM，yM)，点D的坐标为(x，y)， 由中点坐标公式得 解得 所以点D的坐标为(4，－8)，则点D对应的复数为4－8i. 14．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 答案　5 解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5. 15．据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式，若复数z＝的共轭复数为，则等于(　　) A．－－i B．－＋i C.＋i D.－i 答案　A 解析　因为欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)， 则z＝＝cos ＋isin ＝－＋i， 根据共轭复数的定义可知＝－－i. 16．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值． 解　(1)由题意得|z|＝＝≥2， 显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. (2)由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2,2)． 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2，所以m＋＝1. 又mn＞0， 所以＋＝＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立． 又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2，＋的最小值为＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$