3.3.2 复数加减法的几何意义 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　复数加减法的几何意义 [学习目标]　熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加减法的几何意义． 导语 由上节课我们知道复数z＝a＋bi(a，b∈R)同复平面上的点Z(a，b)及向量都是一一对应的，由于复数的加减依然是复数，你能借助所学知识猜想一下复数加减法的几何意义吗？ 一、复数加减法的几何意义 问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)． 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 知识梳理 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应向量，，则＝(a，b)，＝(c，d)． (1)由平面向量的坐标运算得，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i就对应向量＝(a＋c，b＋d)＝＋，且OS是以OP，OQ为邻边的平行四边形的对角线，即复数z1，z2的加法由对应向量，的加法来表示，且复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． (2)复数的减法由对应向量的减法来表示：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i⇒＝(a－c，b－d)＝－＝，其中，与同向平行且长度相等． (3)复数z＝a＋bi与任一实数k相乘，其积所对应的向量可由复数z对应的向量与k的积表示：kz＝ka＋kbi⇒＝(ka，kb)＝k.这就是说，实数k与复数z相乘就可由实数k与该复数对应的向量的数乘来表示． 例1　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及||的长度． 解　(1)因为＝－， 所以对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－， 所以对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i) ＝1＋6i. 所以||＝＝. 反思感悟　复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变． 跟踪训练1　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是______． 答案　(－∞，2) 解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2. 二、复数加减法及几何意义的综合应用 例2　已知z∈C，指出下列等式所表示的几何图形． (1)|z＋1＋i|＝1； (2)|z－1|＝|z＋2i|. 解　(1)|z＋1＋i|＝1表示以－1－i对应的点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆． (2)|z－1|＝|z＋2i|表示以点(1,0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线． 反思感悟　在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 跟踪训练2　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________． 答案　[0,3] 解析　由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3. 三、利用复数加减法的几何意义求最值 例3　已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值． 解　方法一　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1. ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1. ∴|z－3－2i|＝ ＝＝， 由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0. ∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36. ∴4≤≤6. ∴当x＝－1时，|z－3－2i|取得最小值，最小值为4. 方法二　由复数及其模的几何意义知， 满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点的轨迹是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆， 而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离． 由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为AC－r. 又AC＝5， 所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4. 反思感悟　|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 跟踪训练3　已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i[1－i3＋3(－i)2＋3(－i)] ＝i(1＋i－3－3i)＝2－2i， ∴|z1|＝＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆， 而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r＝2＋1(r为圆的半径)． 1．知识清单： (1)复数加减法的几何意义． (2)复数加减法同模的综合问题． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：忽略模的几何意义． 1．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限． 2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在(　　) A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 答案　B 解析　∵|z－1|＝|z＋1|， ∴复数z的对应点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的垂直平分线上，即在虚轴上． 3.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 答案　A 解析　由题意可知＝(－2,1) ∴复数z＋1所对应的向量为(－1,1)，故选A. 4．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________． 答案　5－2i 解析　由题意知，对应的复数为3＋2i，对应的复数为2－4i， 又＝＋， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(2－4i)＝5－2i， 所以点C对应的复数是5－2i. 1．复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是(　　) A．m< B．m<1 C.<m<1 D．m>1 答案　B 解析　∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，∴m－1<0，∴m<1. 2．复数i＋i2在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　i＋i2＝－1＋i，对应点(－1,1)，在第二象限． 3．已知复数z1＝5－2 024i，z2＝2 023＋2ai(a∈R)，若z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 答案　C 解析　因为z1＋z2＝2 028＋(2a－2 024)i，其对应点的坐标为(2 028,2a－2 024)，所以2a－2 024＝0，即a＝1 012. 4.如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则||等于(　　) A．|z1|－|z2| B．|z1|＋|z2| C．|z1－z2| D．|z1＋z2| 答案　C 解析　因为－＝，z1与对应，z2与对应， 所以||＝||＝|z1－z2|. 5．在复平面内A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　) A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i 答案　C 解析　设D(x，y)，由＝， A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)， ∴∴ ∴D(3,5)对应的复数为3＋5i. 6．若复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于(　　) A．5 B. C. D. 答案　B 解析　如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为， 所以即 所以点D对应的复数为z＝3＋3i， 所以＝－＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以||＝. 7.如图，在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai(a，b∈R)，则a－b＝________. 答案　－4 解析　因为＋＝， 所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i， 所以解得得a－b＝－4. 8．若i为虚数单位，复数z满足|z|≤1，则|z－(1＋i)|的最大值为________． 答案　1＋ 解析　|z|≤1表示的几何意义是复数z对应的点到原点的距离小于或等于1，|z－(1＋i)|表示的几何意义是复数z对应的点到点(1,1)的距离，故|z－(1＋i)|的最大值为＋1＝1＋. 9．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值． 解　(1)因为点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ， 所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)， 所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)， 所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i. (2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±. 又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或. 10．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题意可得 ∴2ac＋2bd＝0， ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2， ∴|z1－z2|＝. 方法二　∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2 ＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4， ∴|z1－z2|2＝2， ∴|z1－z2|＝. 方法三　在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，， ∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝， ∴，不共线， 以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2， ∵|z1|＝|z2|＝1， ∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形， ∵|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2， ∴∠Z1OZ2＝90°， ∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形， ∴|z1－z2|＝. 11．(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　) A．P0点的坐标为(1,2) B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C．复数z对应的点Z在一条直线上 D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为 答案　ACD 解析　复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得，y＝x，即点Z在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0与Z之间距离的最小值，结合平面几何知识可知D正确． 12．(多选)复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的值可以是(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1 答案　BD 解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝ ＝ ＝. ∵－1≤cos≤1， ∴|z1－z2|∈[－1，＋1]． 13．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　根据复数加(减)法的几何意义，可知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形． 14．设实数x，y，θ满足x＋yi＝1＋5cos θ＋(－1＋5sin θ)i，则x2＋y2的最大值为________． 答案　27＋10 解析　因为x＋yi＝1＋5cos θ＋(－1＋5sin θ)i， 所以x2＋y2＝(1＋5cos θ)2＋(－1＋5sin θ)2 ＝27＋10(cos θ－sin θ) ＝27＋10cos， 又－1≤cos≤1， 所以(x2＋y2)max＝27＋10. 15.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则|z1＋z2|等于(　　) A. B．3 C. D．4 答案　C 解析　由题意可设z2＝a＋bi(a<0，b>0)， 则解得 ∴z2＝－1＋2i， ∴z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i， ∴|z1＋z2|＝. 16．已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，O为坐标原点． (1)求点C，D对应的复数； (2)求▱ABCD的面积． 解　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－， ∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵＝，∴向量对应的复数为3－i， ∵＝＋， ∴点D对应的复数为2＋i＋3－i＝5. (2)∵cos B＝＝＝＝，B∈(0，π)，∴sin B＝. ∴S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7， 故▱ABCD的面积为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$