第2章 三角恒等变换 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

章末综合提升 学生用书第62页 素养一　逻辑推理 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是我们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，主要表现在公式变形运用中． 题型一　公式变形运用 (1)求值：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________． (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． 解析：　(1)因为tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)， 又tan 30°＝tan(10°＋20°)＝＝， 所以3(tan 10°＋tan 20°)＝(1－tan 10°tan 20°)， 所以(tan 10°＋tan 20°)＝1－tan 10°tan 20°， 所以(tan 10°＋tan 20°)＋tan 10°tan 20°＝1， 所以tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1． (2)∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴＝－，∴tan(A＋B)＝－． 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝． ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， ∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝， ∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形． 答案：　(1)1 素养二　数学建模 数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．在本章中体现在三角函数在实际问题中的应用． 题型二　三角函数在实际问题中的应用 某公司的职工活动室全天对职工开放，机动工作人员经过长期统计得到的时间t(0≤t≤24)(h)与到活动室活动人数y(人)的关系如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 100 150 100 50 100 150 100 50 100 (1)选用一个三角函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系； (2)若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理，则机动工作人员每天在活动室需要工作多长时间(sin≈)? 解析：　(1)以时间t为横坐标，活动人数y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 根据图象，可考虑用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h描述人数与时间之间的函数关系． 学生用书第63页 由图象和数据，可知A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0． 由T＝＝12，得ω＝． 所以这个活动室的活动人数y与时间t之间的函数关系式为y＝50sin＋100，t∈[0，24]． (2)由y≥140，即y＝50sin＋100≥140，得sin≥， 若sin＝，在[0，24]内可得t1＝1．8，t2＝6－1．8＝4．2，t3＝12＋1．8＝13．8，t4＝18－1．8＝16．2， 所以机动工作人员每天在活动室需要工作的时间为t2－t1＋t4－t3＝4．8(h)． 素养三　数学运算 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．在本章中，主要表现在三角函数求值中． 题型三　三角函数求值 已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值． 解析：　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜， 所以－＜α－β＜， 因为sin(α－β)＝－＜0， 所以cos(α－β)＝， 因为cos α＝，所以sin α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝． 素养四　直观想象 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在由图象求函数的解析式中． 题型四　由图象求函数的解析式 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式． 解析：　方法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又过点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)得－×2＋φ＝0，即φ＝，所以f(x)＝3sin． 方法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又图象过点， 所以f＝3sin＝0， 所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin． 方法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f