1.3 向量的数乘-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．3　向量的数乘 [课标解读]　1．通过实例，掌握平面向量数乘运算及运算法则．2．理解共线向量与单位向量的概念． 知识点一　向量的数乘运算 1．向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种求向量的实数倍的运算叫作向量的数乘，记作λa 规定 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ>0且a≠0时，λa的方向与a的方向相同 当λ<0且a≠0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0或a＝0时，λa＝0 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是一个向量． [点拨]　实数和向量可以求积，但不能求和或求差． 知识点二　共线向量 共线 向量 定义 当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b 两个 向量 平行 充要条件 两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb 推广：证明A、B、C三点共线的充要条件 ①＝λ； ②＝x＋y，x＋y＝1 学生用书第2页 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b(如图)，任选一点O，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 范围 (1)0≤θ≤π； (2)当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向； (3)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b [点拨]　(1)规定零向量与所有的向量平行． (2)考虑两个向量是否平行时，不要忽略零向量． (3)两个向量平行的充要条件要注意：向量a∥b存在唯一的实数λ，使得a＝λb是错误的，比如a＝b＝0，那么λ∈R；a≠0，b＝0，那么λ不存在． 知识点三　共线向量的运算 　单位向量：把长度为1的向量称为单位向量．它的长度等于单位长度． [点拨]　对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a；那么a的单位向量为±． 知识点四　数乘运算律 　设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则满足如下运算律： (1)(x＋y)a＝xa＋ya； (2)x(ya)＝(xy)a； (3)x(a＋b)＝xa＋xb． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λ a的方向与a的方向一致．(　　) (2)若λ a＝0，则a＝0．(　　) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b．(　　) (4)任意两个单位向量都相等．(　　) (5)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A．|a|＝|b|　　　　　　　　B．4|a|＝|b| C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反 C　[∵a＝4b，4＞0，∴|a|＝4|b|．∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．故选C．] 3．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n ABD　[易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．故选ABD．] 4．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形的形状是________． 解析：　∵＝－， ∴AB∥CD且|AB|＝|CD|， ∴四边形ABCD是梯形． 答案：　梯形 探究点一　向量的线性运算 化简下列各式： (1)(2－)－(－2)； (2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]． 解析：　(1)(2－)－(－2)＝2－－＋2＝2＋＋＋2＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝． (2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)＝－a＋b． 向量的线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类比代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　 学生用书第11页 即时练1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________． 解析：　－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝