1.3 课时2 共线向量的运算与数乘运算律 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.3 向量的数乘 1 课时2 共线向量的运算与数乘运算律 2 1.掌握共线向量的运算.（逻辑推理、数学运算） 2.掌握向量的数乘运算律，并能进行有关的计算.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 一重物从高空自由落下，由自由落体运动的速度公式可知，它在 末和 末的速度大小分别为和.显然 ，并且方向都是 竖直向下的. 1.上述问题反映了向量的何种运算呢？与 是否共线？ [答案] 向量的数乘运算，共线. 2.向量数乘运算满足结合律、分配律吗? [答案] 满足. 自主预习 4 3.什么是单位向量？把所有单位向量的起点移到同一点，终点构成的图形是什么？ [答案] 长度为1的向量称为单位向量.把所有单位向量的起点移到同一点，终点构成的图形是圆. 自主预习 5 1.下列运算正确的个数是( ) . ①；②；③ . C A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确； ③ ，是零向量，而不是0，所以该运算错误. 所以运算正确的个数为2. 自主预习 6 2.化简 _____. [解析] . 自主预习 7 3.若，则 _________． [解析] 由已知，得 ， 所以 ， 所以 ． 自主预习 8 探究1 共线向量的运算 在四边形中，已知，， . 问题1： 如何判断四边形 的形状？ [答案] , 由向量共线的定义知，且， 四边形 为梯形. 合作探究 9 问题2： 若，则与 共线吗？ [答案] 根据共线向量及向量数乘的意义可知，与 共线. 问题3： 若与非零向量共线，则是否存在 满足？若与向量 共线呢？ [答案] 若与非零向量共线，则存在 满足；若与向量共线，当 ， 时，不存在 满足 . 合作探究 10 新知生成 1.单位向量 把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量 ，都可 得到与它方向相同的唯一单位向量 . 2.共线向量的运算 一般地，在一条直线上任取单位向量,则直线上任何向量都可写成 ，其中 实数的绝对值代表向量的模，的正负代表与 的方向相同或相反.反过来， 任意给定一个实数,我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数 的绝对值， 方向与实数 的符号一致. 合作探究 11 新知运用 例1 已知，是两个不共线的向量，若， ， ，求证：，， 三点共线. 方法指导 先表示出和，证明，然后根据向量共线定理证，， 三 点共线. [解析] ，， . 又，， . 与有公共点，，， 三点共线. 合作探究 12 &1& 证明或判断三点共线的方法：（1）一般来说，要判定，， 三点是否 共线，只需看是否存在实数 ，使得（或 等）即可.（2）利用结 论：若，，三点共线，为直线外一点 存在实数，，使 ， 且 . 合作探究 13 对于向量， 有下列表示： 其中，向量， 一定共线的是( ) . A ①，； ②， ； ③，； ④， . [解析] ①中，则，共线；②中，则，共线；③中，则 ， 共线.故选A. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 合作探究 14 探究2 向量数乘的运算律 已知向量 ，有以下三个结论： （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 15 问题： 请通过作图判断以上结论是否成立？ [答案] 各式均是成立的（如图）. （1） ； 合作探究 16 （2） ； （3） . 合作探究 17 新知生成 数乘运算律 一般地，设，是任意向量，， 是任意实数，则以下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： _________； （2）对实数乘法的结合律： _______； （3）对向量加法的分配律： ________. 合作探究 18 新知运用 一、向量的线性运算 例2 化简 . [解析] 原式 . 合作探究 19 &2& 向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运 算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与 向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的 系数. 合作探究 20 化简：（1） ； （2） . [解析] （1）原式 . （2）原式 . 合作探究 21 二、利用向量共线求参数值 例3 已知向量，不是共线向量，，， . （1）判断， 是否平行； （2）若，求 的值. 方法指导 利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：（1）判定向量平行（先假设 平行，用基本定理列方程，根据，其中， 不共线，列实 数方程组，求解）；（2）已知向量求参数. 合作探究 22 [解析] （1）显然为非零向量