1.3课时1向量的实数倍与共线向量学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.3 课时1 向量的实数倍与共线向量 【学习目标】 1.掌握向量数乘运算及其几何意义,掌握向量数乘运算的运算律,能熟练地进行向量数乘运算.(逻辑推理、数学运算) 2.掌握平行向量的条件,会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.实数与向量相乘结果是实数还是向量? 2.非零向量a与向量b共线的充要条件是什么? 3.按照向量夹角的定义,如图所示,∠BAC是向量与的夹角吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa. (　　) (2)若b=λa,则a与b共线. (　　) (3)对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反. (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论错误的是(　　). A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a 3.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则=(　　). A.(a-b) B.-(a-b) C.(a+b) D.-(a+b) 【合作探究】 探究1 向量的实数倍 　　一物体做匀速直线运动,1秒钟的位移对应的向量为a,在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3a吗?在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少? 问题1:物体的位移是多少? 问题2:向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系? 问题3:λa的几何意义是什么? 新知生成 1.向量的数乘 一般地,实数λ与向量a的乘积是一个　向量　,记作　λa　,称为a的λ倍,它的长度|λa|=　|λ||a|　.  当λ≠0且a≠0时,λa的方向: 当λ>0时,与a的方向　相同　;  当λ<0时,与a的方向　相反　;  当λ=0或a=0时,λa=0a=0或λa=λ0=0. 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 2.向量的线性运算 把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量. 新知运用 例1　已知点C在线段AB上,且=,则等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.- D.- 【方法总结】　　(1)数乘向量λa中,实数λ称为向量a的系数. (2)实数与向量积的运算,结果仍是一个向量,它可以看成实数与实数积的定义的推广,但不能进行加减运算,如λ+a,λ-a均无意义. (3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题. 下列各式中不表示向量的是(　　). A.0·a B.a+3b C.|3a| D.e(x,y∈R,且x≠y) 探究2　共线向量 　　如图,在平行四边形ABCD中,E为DC的中点. 问题1:AB与DE的关系是什么? 问题2:与,与是否共线? 问题3:若G为线段CD上任意一点,是否存在λ∈R满足=λ? 新知生成 1.向量共线 当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,记作a∥b. 规定:零向量与所有的向量平行. 2.共线向量定理 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即:a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa或a=λb. 新知运用 例2　设A,B,C,D中的任何三个点不共线,用向量语言描述下列几何图形的特征. 　　(1)四边形ABCD是平行四边形; (2)在梯形ABCD中,上底AD长是下底BC长的一半. 根据下列条件,分别判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (1)=; (2)=; (3)=,且||=||. 探究3　向量的夹角 问题1:如图所示, 在△OAB中,OA⊥AB,向量c与向量a是否共线?向量a和向量b相等吗?它们之间形成了怎样的特殊关系?特殊之处是什么? 问题2:平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点,它们存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 新知生成 向量的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角,记作<a,b>,取值范围规定为[0,π]. 当θ=0时,a,b方向相同; 当θ=π时,a,b方向相反; 当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b. 可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为,零向量与任一向量垂直. 新知运用 例3　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4. (1)求向量a,b的夹角; (2)求向量a与a+b夹角的余弦值. 【方法总结】　　求夹角要分清哪个是向量的夹角,按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹