6.1.4求导法则及其应用学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6．1.4　求导法则及其应用 1.能使用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．会使用导数公式表． 新知初探·自主学习——突出基础性 1.能使用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．会使用导数公式表． 知识点一　导数的运算法则 1．和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝________________． 2．积的导数 (1)[f(x)g(x)]′＝________________； (2)[Cf(x)]′＝________________． 3．商的导数 ′＝________________________． 知识点二　复合函数的概念及求导法则 复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________． 复合函数的求导法则　 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝________，即y对x的导数等于________________． 　基 础 自 测 1．下列运算中正确的是(　　) A．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2 B．已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x C．已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1 D．′＝ 2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝(　　) A．ex(x＋1) B．1＋ex C．x(1＋ex) D．ex(x－1) 3．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　) A．B．0 C．钝角 D．锐角 4．函数f(x)＝sin (－x)的导函数f′(x)＝________. 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　导数四则运算法则的应用 例1　求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sincos. 方法归纳 1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． 跟踪训练1　已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________． 　复合函数的导数 例2　求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin3x. 状元随笔　先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 方法归纳 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 跟踪训练2　求下列函数的导数． (1)y＝cos (x＋3)； (2)y＝(2x－1)3； (3)y＝e－2x＋1. 　复合函数的导数的应用 【思考探究】 试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？ [提示]　函数y＝(3x＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2). 例3　(1)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． 状元随笔　求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解． (2)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A． B．2 C．3 D．0 方法归纳 关于复合函数导数的应用及其解决方法 1．复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． 2．方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用． 跟踪训练3　(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________． (2)曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与平行直线l的距离为，求直线l的方程． 6．1.4　求导法则及其应用 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 1．f′(x)±g′