6.1.3基本初等函数的导数学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6．1.3　基本初等函数的导数 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能使用给出的基本初等函数的导数公式表求简单函数的导数． 教 材 要 点 知识点一　函数的导数 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x________，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个________．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作__________________________________， 即f′(x)＝y′＝y′x＝. 导函数通常也简称为导数． 知识点二　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝x f′(x)＝________ f(x)＝x2 f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 y＝c y′＝________ y＝xn(n∈N＋) y′＝________，n为正整数 y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q) y′＝________，μ为有理数 y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝________ y＝ex y′＝________ y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0) y′＝________ y＝ln x y′＝________ y＝sin x y′＝________ y＝cos x y′＝________ 基 础 自 测 1.给出下列结论： ①若y＝，则y′＝－； ②若y＝，则y′＝； ③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 2.给出下列命题： ①y＝ln 2，则y′＝； ②y＝，则y′＝－； ③y＝2x，则y′＝2x ln 2； ④y＝log2x，则y′＝. 其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3.若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 4.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α＝(　　) A． B． C． D． 课堂探究·素养提升——强化创新性 　利用导数公式求函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. 状元随笔　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式． 方法归纳 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 跟踪训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________． 　利用公式求函数在某点处的导数或者切线方程 例2　(1)质点的运动方程是s＝sin t，求质点在t＝时的速度． (2)已知函数f(x)＝在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是________． 状元随笔　先求s ′(t)，再求s ′. 方法归纳 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 跟踪训练2　(1)求函数f()＝在(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在()处的导数． 　求曲线过某点的切线方程 【思考探究】 1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？ [提示]　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ [提示]　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点． 3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ [提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数． 联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值． 例3　已知曲线f(x)＝. (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程． 状元随笔　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程． (2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求