6.1.2导数及其几何意义第2课时导数的几何意义学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　导数的几何意义 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 新知初探·自主学习——突出基础性 知识点　导数的几何意义 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________________． 　 基 础 自 测 1.已知曲线y＝x2上一点A(2，4)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A.f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 3．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　求曲线在某点处切线的方程 例1　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 状元随笔　(1)先求切点坐标，再求y′，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C的方程联立求解． , 方法归纳 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个． 跟踪训练1　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程． 　求切点坐标 例2　已知抛物线y＝2x2＋1.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? 状元随笔　 跟踪训练2　已知函数f(x)＝x2.在曲线y＝f(x)上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 方法归纳 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1．设切点坐标(x0，y0)； 2．求导函数f′(x)； 3．求切线的斜率f′(x0)； 4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； 5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标． 　曲线过某点的切线方程 例3　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程． 方法归纳 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求解步骤 (1)设切点(x0，f(x0))． (2)建立方程f′(x0)＝. (3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，从而写出切线方程． 跟踪训练3　求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 　利用图象理解导数的几何意义 例4　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) (2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) , 方法归纳 根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降． 跟踪训练4　 已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)． 第2课时　导数的几何意义 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 [基础自测] 1．解析：k＝＝4. 答案：A 2．解析：由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)． 答案：B 3．解析：由题意知切线的斜率为3，即f′(2)＝3. 答案：D 4．解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－x0＝＋Δx，∴＝x0＋Δx＋1，∴f′(x0)＝＝x0＋1.则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2. 答案：D 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)将x＝1代入曲线C的方程得