6.1.2导数及其几何意义第1课时瞬时变化率与导数学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.2 导数及其几何意义 第1课时 瞬时变化率与导数 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. 2.体会极限思想. 新知初探 自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点 瞬时变化率与导数 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),当_时,函数f(t)在t0到t0+ t之间的平均变化率_趋近于常数,我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度. (2)函数的瞬时变化率 设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为 x时,函数值相应地改变 y=f(x0+ x)-f(x0),如果当 x趋近于0时,平均变化率_趋近于一个常数k,那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率. 记作:当 x 0时, k. 还可以说:当 x 0时,函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率k,记作 (3)函数f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在点x0的_,通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作_,即f′(x0)=_. 基 础 自 测 1.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是_. 2.一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=_时的瞬时速度为1. 3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+ x)-f(x0)=a x+b( x)2(a,b为常数),则( ) A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b 4.如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1,那么=( ) A. B.1 C.2 D. 课堂探究 素养提升——强化创新性 求瞬时速度 例1 以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为_. 状元随笔 先求出,再求 , 方法归纳 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 t和位移改变量 s=s(t0+ t)-s(t0); (2)求平均速度=; (3)求瞬时速度,当 t无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度. 2.求(当 x无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中,可把 x作为一个数来参与运算. (2)求出的表达式后, x无限趋近于0就是令 x=0,求出结果即可. 跟踪训练1 一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2(位移单位:m,时间单位:s). (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在t=2时的瞬时速度. 求函数在某点处的导数 例2 (1)曲线y=在点处的导数为( ) A.2 B.-4 C.3 D. (2)求函数y=3x2在x=1处的导数. 状元随笔 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率,再求f ′(x0). 方法归纳 1.通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系,对于 y与 x的比值,感受和认识在 x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象. 2.用定义求函数在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量 y=f(x0+ x)-f(x0); (2)求平均变化率; (3)求极限,得导数为f′(x0)=. 简记为:一差、二比、三趋近. 跟踪训练2 求函数f(x)=x-在x=1处的导数. 导数的实际意义 例3 已知某产品的总成本函数为C=2Q2+Q+3,总成本函数在Q0处导数f′(Q0)称为在Q处的边际成本,用MC(Q0)表示.求边际成本MC(200),并说明它的实际意义. 方法归纳 由 x很小时,f(x0+ x)-f(x0)≈f′(x0) x,瞬时变化率f′(x0)的实际意义为:当自变量在x=x0处的改变量很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′(x0) x. 跟踪训练3 半径为R的气球,求半径为1时体积的瞬时变化率,并说明这一瞬时变化率的实际意义. 6.1.2 导数及其几何意义 第1课时 瞬时变化率与导数 新知初探 自主学习 [教材要点] 知识点 (1) t趋近于0 (2)= (3)瞬时变化率 f′(x0) [基础自测] 1.解析:∵f(x)=x2, ∴函数f(x)在x=1处的瞬时变化率是 = = ==2. 答案:2 2.解析:设物体在t=t0时的瞬时速度为1, 因为===2t0-3+ t, 所以=2t0-3=1,解得t0=2. 答案:2 3.解析:f′(x0)===a. 答案:C 4.解析:因为f′(1)=1,所以=1, 所以==. 答案:A 课堂探究 素养提升 例1 【解析】 ∵ s==v0 t-gt0 t-g( t)2, ∴=v0-gt0-g t, ∴=v0-gt0, 即t0时刻的瞬时速度为v0-gt0. 【答案】 v0-gt0 跟踪训练1 解析:(1)初速度v0= ===3, 即物