5.5数学归纳法学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.5 数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 新知初探 自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一 归纳法 由有限多个个别的特殊事例得出_的推理方法,通常称为归纳法. 【思考探究】 设函数f(x)=(x>0),观察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根据以上事实,归纳推理,得 当n∈N+且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=_. [提示] 依题意,先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式,由1,3,7,15,…可推知an=2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16,…,故其通项bn=2n,所以当n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=. [答案] 知识点二 数学归纳法 对于某些与自然数有关的数学命题,常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性: (1)证明当n取_(例如n0=0,n0=1等)时命题成立. (2)假设当_(k为自然数,k≥n0)时命题正确,证明当_时命题也正确.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法叫做数学归纳法. 基 础 自 测 1.一批花盆堆成三角形垛,顶层一个,以下各层排成正三角形,第n层和第n+1层花盆总数分别是f(n)和f(n+1),则f(n)与f(n+1)的关系为( ) A.f(n+1)-f(n)=n+1 B.f(n+1)-f(n)=n C.f(n+1)-f(n)=2n D.f(n+1)-f(n)=1 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 3.用数学归纳法证明等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”时,从k到k+1左边需增加的代数式为( ) A.2k-2 B.2k-1 C.2k D.2k+1 4.用数学归纳法证明:“当n为奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,在归纳假设中,假设当n=k时命题成立,那么下一步应证明n=_时命题也成立. 课堂探究 素养提升——强化创新性 数学归纳法的概念 例1 用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算的结果是( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 状元随笔 注意左端特征,共有n+2项,首项为1,最后一项为an+1. 方法归纳 1.验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1. 2.递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. 跟踪训练1 下列四个判断中,正确的是( ) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+),当n=1时为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+),当n=1时为1+k C.式子+…+(n∈N+),当n=1时为1+ D.设f(n)=+…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+ 用数学归纳法证明等式 例2 用数学归纳法证明:1-+…+=+…+(n∈N+). 状元随笔 要证等式的左边共2n项,右边共n项,f(k)与f(k+1)相比左边增两项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并. 方法归纳 1.用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. 2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节. 跟踪训练2 用数学归纳法证明:+…+=(其中n∈N+). 数学归纳法证明整除问题 例3 求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N+. 状元随笔 对于多项式A,B,如果A=BC,C也是多项式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,则A+B,A-B也能被C整除. 方法归纳 利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证. 跟踪训练3 求证:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. 证明几何命题 例4 平面内有n(n≥2,n∈N+)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,那么这n条直线的交点个数f(n)是多少?并证明你的结论. 状元随笔 (1)从特殊入手,求f(2),f(3),f(4),猜