5.4数列的应用学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.4 数列的应用 在数列的教学中,应引导学生通过具体实例(如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等),理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用;引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系;能在具体的问题情境中,发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题. 新知初探 自主学习——突出基础性 教 材 要 点 1.分期还款与数列 等额本金还款法是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率,即每期还款金额=+(贷款本金-已还本金总额) 利率. 2.等额本息还款法是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.若贷款时的资金为A0元,每一期所还钱数为x元,则x=.其中r为年利率. 状元随笔 (1)解决数列的实际应用问题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质,转化为数学问题解决. (2)价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模,从而归纳转化为数列问题去解决. 3.政府支出的“乘数”效应与数列 政府支出的“乘数”效应问题,经济学家凯恩斯认为,政府支出的增加会引起国民收入成倍数的增加,这就是政府支出的“乘数”效应. 状元随笔 政府支出的“乘数”效应有关概念的理解 (1)“乘数”效应 ①“乘数”效应是一种宏观的经济效应,是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度. ②财政政策乘数是研究财政收支变化对国民经济的影响,其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数. (2)政府支出 政府的财政支出(包括政府消费支出和政府投资支出)是一种与居民投资十分类似的高效能支出.政府在商品与服务上的一项采购,将会引发一系列的再支出.因此任何一届政府在选择经济政策时,究竟是采取扩张性政策还是紧缩性政策,在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大,否则将会对国民经济造成极大的伤害. 基 础 自 测 1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.48里 2.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ) A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 3.自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金,贷款的年利率为5%,如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款,则其第二年应还_元;如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款,则其每年还款约_元.(1.0510≈1.628 89) 4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为_. 课堂探究 素养提升——强化创新性 贷款还款与数列 例1 某人年初向银行贷款10万元用于购房. (1)如果他向建设银行贷款,年利率为5%,且这笔借款分10次等额归还(不计复利),每年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到1元) (2)如果他向工商银行贷款,年利率为4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),仍分10次等额归还,每年一次,每年应还多少元?(精确到1元,1.0410≈1.480 2) , 方法归纳 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金),故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式;(2)中的利率是复利(即利滚利),所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和. 故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式,导致这种区分的原因是付款形式不同. 跟踪训练1 某职工年初向银行贷款2万元用于买车,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金),若这笔贷款要求10次等额还清,每年一次,10年还清,并且从贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(1.110≈2.593 7) 政府支出的“乘数”效应与数列