5.3.2等比数列的前n项和第2课时特殊数列的前n项和学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　特殊数列的前n项和 1.熟练应用等差、等比数列前n项和公式的性质解题． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 1.分组求和法 若数列{an}的通项公式为an＝cn±bn，其中{cn}与{bn}是等差(比)数列或可以直接求和的数列，则一般利用分组求和法求{an}的前n项和． 2．错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法； (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项求和的形式： ①＝)； ②＝)； ③＝； ④＝]； ⑤＝； ⑥ln (1＋)＝ln (n＋1)－ln n． 4．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和． 5．倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 　基 础 自 测 1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝(　　) A． B． C． D． 2．已知数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，公比q＝2，则数列{b2n－1}的前10项的和为(　　) A．×(49－1) B．×(410－1) C．×(49－1) D．×(410－1) 3．数列1，3，5，7…的前n项和Sn为(　　) A．n2＋1－ B．n2＋2－ C．n2＋1－ D．n2＋2－ 4．已知数列an＝(n∈N*)，求{an}的前n项和Sn. 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　分组求和法 例1　已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 状元随笔　(1)求出等比数列{bn}的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解． (2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{cn}的前n项和． 方法归纳 分组转化法求和的常见类型 1．若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． 2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}满足b1＝－，b2＝－，设cn＝an＋bn，若数列{cn}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn. 　错位相减法求和 【思考探究】 1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？ [提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n. 2．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？ [提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，① 两边同乘以{2n}的公比可变形为 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② ②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1. 此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法． 例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． 方法归纳 错位相减法的适用范围及注意事项 1．适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． 2．注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错位对齐，以便于作差，正