5.3.2第1课时 等比数列的前n项和学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第1课时　等比数列的前n项和 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　等比数列的前n项和公式 状元随笔　等比数列求和应注意什么？ [提示]　公比q是否等于1. 知识点二　等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是关于n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 　基 础 自 测 1．求下列等比数列前8项的和： (1)，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 2．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为(　　) A．10　　　B．　　　C．11　　　D．12 3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　) A．3 B．4 C． D． 4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　等比数列前n项和公式基本量的运算 例1　在等比数列{an}中． (1)若q＝2，S4＝1，求S8； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. (3)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________． 方法归纳 1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解． 2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元． 跟踪训练1　在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 　等比数列前n项和公式的函数特征应用 例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数，n∈N*)，则数列{an}(　　) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 (2)若将(1)题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k(n∈N*)，则实数k＝________． 方法归纳 (1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 跟踪训练2　(1)设数列{an}的前n项和Sn＝4×3n－1－1(n∈N*)，则通项an＝________． (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝－(n∈N*)，则x＝(　　) A．　　B．－ C．　　D．－ 　等比数列前n项和的灵活应用 考向一　等比数列的连续n项之和的性质 例3　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 方法归纳 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 跟踪训练3　设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A．32　　 B．64 C．72　　 D．216 考向二　等比数列的奇数项、偶数项之和的性质 例4　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 方法归纳 (1)在等比数列{an}中若项数为偶数，则有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇． (2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想． 跟踪训练4　一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 　等比数列前n项和的实际应用 例5　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10) 方法归纳 (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题； (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解． 跟踪训练5　一个热气球在第