5.3.1等比数列第2课时等比数列的性质学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　等比数列的性质 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　等比中项 (1)前提：三个数x，G，y成等比数列． (2)结论：________叫做x，y的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝________． 状元随笔　任意两数都有等比中项吗？ [提示]　不是，只有同号的两数才有． 知识点二　“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为________，首项为________，公比为________；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为________，首项为________，公比为________． 知识点三　等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝________． ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝________． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 知识点四　两个等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为________． 　基 础 自 测 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5＝(　　) A．± B．－ C． D．± 2．已知数列{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝，则a4＝________． 3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________． 4．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　等比中项的应用 例1　已知a，－，b，－，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值． 方法归纳 由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝xy⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝xy，则＝，即x，G，y成等比数列．所以x，G，y成等比数列⇔G2＝xy(xy≠0)． 跟踪训练1　若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．± B． C．1 D．±1 　等比数列性质的应用 例2　已知数列{an}为等比数列． (1)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． (3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求的值． 方法归纳 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果． 跟踪训练2　(1)下列结论错误的是(　　) A．有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积 B．当q>1时，{an}为递增数列 C．当q＝1时，{an}为常数列 D．当a1>0，q>1时，{an}为递增数列 (2)在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10. (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 　灵活设项求解等比数列 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 方法归纳 合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d. 跟踪训练3　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 　等差、等比数列性质的综合应用 例4　设数列{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝ln a3n＋1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 方法归纳 应用等差、等比数列的定义解题永远是最基本的方法， (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式． (2)方程思想的应用往往是破题的关键． 跟踪训练4　设数列{an}是公差d≠0