5.3.1等比数列第1课时等比数列的定义学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数函数的关系． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　等比数列的概念 (1)文字语言： 一般地，如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________，那么这个数列{an}就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)． 状元随笔　等比数列还可以用哪种符号语言表示？ [提示]　＝q(q为常数，q ≠0，n≥2，n∈N＋)． 知识点二　等比数列的通项公式 (1)一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． (2)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋)． 知识点三　等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝________，而f(x)＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝________的图象上的________点． 知识点四　等比数列的单调性 　基 础 自 测 1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　) A．a≠1 B．a≠0或a≠1 C．a≠0 D．a≠0且a≠1 2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　) A．an＝2·3n＋1 B．an＝3·2n＋1 C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1 3．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q＝(　　) A． B． C．－ D．或－ 4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　等比数列的判断 例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…. 方法归纳 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 跟踪训练1　(多选)以下数列中是等比数列的是(　　) A．数列1，3，9，27，… B．数列{an}中，已知＝2，＝2 C．常数列a，a，a，…，a，… D．数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋ 　等比数列的通项公式及其应用 【思考探究】 1．类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？ [提示]　由等比数列的定义可知： a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3， a5＝a4q＝a1q4，… 由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 2．由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？ [提示]　由＝q，知＝q，＝q，＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；两式相比得＝qn－m， 则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广． 3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？ [提示]　若a1＝2，q＝，则a3＝2·＝； 若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8， 所以q＝±2， 由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”． 例2　(1)在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. ①求数列{an}的通项公式an； ②若an＝，求n. (2)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 方法归纳 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．直接求出q后，再求a1，最后求an