6.2.2 第2课时 函数的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　函数的最值 [课标解读]1.理解函数的最值的概念.2.了解函数的最值与极值的区别与联系.3.会用导数求在给定区间上函数的最值． 知识点　函数的最大(小)值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 函数的极值与最值的区别 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函 学生用书第62页 数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． (3)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．　　 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在此区间上可能没有极值点 D．f(x)在此区间上可能没有最值点 C　[根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确．] 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值　 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 A　[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．] 3．(多选)(2022·徐州高二检测)已知不等式(x－2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的值可能为(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 AB　[令f(x)＝(x－2)ex，则a≤f(x)min. f′(x)＝(x－1)ex，当x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0. 所以，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)， 所以f(x)min＝f(1)＝－e，所以a≤－e. 因此，满足条件的整数a的可能值为－4，－3.故选AB．] 4．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________． 解析：　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 答案：　π 5．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m，x∈[－2，2]，f(x)的最小值为1，则m＝________． 解析：　f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2，2].令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2， 当x∈(－2，0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，2)时，f′(x)＞0， ∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1. 答案：　1 题型一　求函数的最值 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]； (3)f(x)＝. [点拨]　在求闭区间[a，b]上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可． 解析：　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大 值4  极小 值3  极大 值4  －5 所以当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， 因为f′(x)在[－1，1]内恒大于0，所以f(x)在[－1，1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. (3)函数f(x)＝的定义域为R. f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，则x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化