6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 [课标解读]1.了解极大值、极小值的概念.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求函数的极大值、极小值． 知识点一　极值点与极值 1．极值点与极值的一般解释 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 2．极值点与极值的导数解释 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 学生用书第59页 1.对于极值的认识 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，极值点是区间内部的点而不会是端点． (2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 2．对函数取极值条件的认识 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．　　 (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在点x0左侧和右侧f′(x)的符号不同. 3．对于函数极值点的认识 (1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的． (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正． 知识点二　求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．] 2．函数f(x)＝－的极值点为(　　) A．0　　　　 B．－1 C．0或1 D．1 D　[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)， 由f′(x)＝0得x＝0或x＝1. 又当x＞1时，f′(x)＞0，0＜x＜1时，f′(x)＜0， ∴1是f(x)的极小值点． 又x＜0时，f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．] 3．(多选)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x1)<0 B．f(x1)≥0 C．f(x2)<－1 D．f(x2)>－ AD　[由于函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，所以f′(x)＝1－2ax＋ln x＝0有两个不相等的实根，即曲线y＝1＋ln x与直线y＝2ax有两个不同的交点，如图， 易得直线y＝x与曲线y＝1＋ln x相切于点(1，1)， 可得0<2a<1，0<x1<1<x2，所以0<a<，f(x1)＝x1(ln x1－ax1)<0. 因为当x1<x<x2时，f′(x)>0，所以f(x2)>f(1)＝－a>－.故选AD．] 4．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点． 解析：　由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0， ∴f′(1)＝0，1是函数f(x)的