6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　简单复合函数的求导法则 [课标解读]1.了解复合函数的概念.2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数． 知识点　复合函数及其导数 1．复合函数的概念：一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2．复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代”．　　 1．下列所给函数为复合函数的是(　　) A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ A　[函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，另外三个函数分别为函数y＝ln x与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，故选A．] 2．函数f(x)＝sin (2x＋)的导函数f′(x)为(　　) A．f′(x)＝cos B．f′(x)＝2cos C．f′(x)＝cos 2x D．f′(x)＝2cos 2x B　[根据复合函数的求导公式，f(u)＝sin u，u＝2x＋，f′(x)＝2cos .] 3．(多选)以下函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝，则f′(x)＝ B．若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝cos ，则f′(x)＝－sin AC　[对A，f′(x)＝＝，故A正确； 对B，f′(x)＝e2x·2＝2e2x，故B错； 对C，f′(x)＝[(2x－1)]′＝·(2x－1)·2＝(2x－1)＝，所以C正确； 对D，f′(x)＝·2＝－2sin ，故D错．故选AC．] 4．函数y＝是由____________三个函数复合而成的． 答案：　y＝，u＝v2＋1，v＝sinx 5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________． 解析：　f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ∵f′(x)＝8x＋4a， ∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案：　1 题型一　复合函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin (2x＋1)；(4)y＝. [点拨]　先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． 解析：　(1)因为y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成， 所以y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)因为y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成， 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin (2x＋1)可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(2x＋1)′＝2cos u＝2cos (2x＋1). (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝ . 学生用书第53页 1.求复合函数的导数的步骤 — ↓ — ↓ — ↓ — 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． (3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁． 即时练1.求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln (ex＋x2)；(3)y＝2sin . 解析：　(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′＝3×103x－2×ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝ . (3)设y＝2sin u，u＝3x－，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos . 题型二　复合函数与导数的运算法则的综合应用 求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝x cos sin . [点拨]　先分析函数的构成，必要时先化简再求导． 解析：　(1)∵(ln