6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6.1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 [课标解读]能利用导数的运算法则求函数的导数． 知识点　导数的四则运算法则 导数的四则运算法则 语言表达 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数 ′＝(g(x)≠0) 两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方 (1)公式的推广：函数和、差导数可以推广到n个函数． 设f1(x)，f2(x)，…fn(x)在x处可导．则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x). (2)结构特征 乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式，分母平方，分子用“减号”．　　 1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　) A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1 A　[因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A．] 2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　　) A．ab B．－a(a－b) C．0 D．a－b D　[∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab， ∴f′(x)＝2x－(a＋b)， ∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．] 学生用书第50页 3.函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cosx·sin x D．y′＝cos x·sin x B　[y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.] 4．函数y＝x3＋3x2＋6x－10的导数y′＝__________． 解析：　函数的导数为y′＝3x2＋6x＋6. 答案：　3x2＋6x＋6 5．已知函数f(x)＝f′cosx＋sin x，则f的值为________． 解析：　因为f′(x)＝－f′sin x＋cos x， 所以f′＝－f′×＋，得f′＝－1. 所以f(x)＝(－1)cos x＋sin x，所以f＝(－1)＋＝1. 答案：　1 题型一　利用运算法则求函数的导数 (1)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________． (2)求下列函数的导数： ①y＝3x2＋x cos x； ②y＝； ③y＝. [点拨]　这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则． 解析：　(1)∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3. (2)①y′＝(3x2)′＋(x cos x)′＝6x＋(x)′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－x sin x. ②y′＝＝. ③y′＝＝＝. 答案：　(1)3 运用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定求导法则和基本公式． (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．　　 即时练1.(1)已知f(x)＝，则f′(x)＝(　　) A．　　　 B．－1 C．1－ln x D． (2)已知函数f(x)＝x3＋4xf′(1)，则f(1)＝(　　) A．－7 B．－3 C．－1 D．4 解析：　(1)f′(x)＝＝＝. (2)f′(x)＝3x2＋4f′(1)， ∴f′(1)＝3＋4f′(1)，∴f′(1)＝－1， ∴f(x)＝x3－4x，∴f(1)＝1－4＝－3. 答案：　(1)D　(2)B 题型二　利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝x ln ； (2)y＝； (3)y＝. [点拨]　若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导． 解析：　(1)因为y＝x ln ＝x ln x＝x ln x， 所以y′＝′＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋. (2)因为y＝＝x－x2＋x3， 所以y′＝(x－x2＋x3)′＝1－2x＋3