6.1.3 基本初等函数的导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6.1.3　基本初等函数的导数 [课标解读]1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 知识点一　导函数(导数) 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数).即f′(x)＝y′＝y′x＝ . 函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系 (1)“函数在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，只与x0有关，与Δx无关，不是变数． (2)导函数也简称导数． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0).　　 知识点二　几个常用函数的导数 原函数 导函数 y＝f(x)＝c y′＝0 y＝f(x)＝x y′＝1 y＝f(x)＝x2 y′＝2x y＝f(x)＝x3 y′＝3x2 y＝f(x)＝ y′＝－ y＝f(x)＝ y′＝ 知识点三　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (1)导数定义本身给出了求导函数最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，所以求导数总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．但当用导数定义推导出常见函数的导数公式后，求函数导数就可用公式直接求导，简捷迅速． 学生用书第47页 (2)学习基本初等函数求导公式时不需要对公式进行证明．掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可． (3)要搞清一些函数的内部关系，合理转化函数关系式然后求导，如y＝，y＝可转化为y＝x，y＝x－4. [提示]　若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，但反之不成立，由导数的定义可知对f(x)＝ex＋C(其中C为任意实常数)，都有f′(x)＝ex，也就是说由f′(x)＝ex，可以推出f(x)＝ex＋C.　　 1．(多选)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x ABC　[若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0. A中，f′(x)＝ex＞0，B中f′(x)＝3x2≥0， C中f′(x)＝(x＞0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线． 而D中f′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．故选ABC．] 2．若y＝cos ，则y′＝(　　) A．－ B．－ C．0 D． C　[cos ＝－，为常数．常数函数的导数为0.] 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． C　[∵f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10.] 4．函数f(x)＝，则f′(x)＝________，f′＝________． 解析：　因为f(x)＝＝x，所以f′(x)＝x. f′＝×＝×＝. 答案：　x　 5．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________． 解析：　f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：　1 题型一　利用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝4x；(4)y＝log5x；(5)y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1. [点拨]　 解析：　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝(4x)′＝4x ln 4. (4)y′＝(log5x)′＝. (5)由y＝(x－1)(x2＋x＋1)＋1得y＝x3－1＋1，即y＝x3，所以y′＝(x3)′＝3x2. 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．　　 即时练1.求下