6.1.2 导数及其几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1.2　导数及其几何意义 [课标解读]1.了解瞬时变化率与导数的概念，会求函数在某一点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程． 知识点一　瞬时变化率与导数 1．定义：一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k． 2．符号表示：f′(x0)＝ . 3．实际意义：瞬时变化率f′(x0)的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. [提示]　函数f(x)并不一定在定义域内的任意一点都存在瞬时变化率，如函数f(x)＝，在x＝0处就不存在瞬时变化率．因为＝＝，当Δx趋近于0时，瞬时变化率越来越大，无法趋近于一个确定的值． 知识点二　导数的几何意义 1．切线的定义：如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． [提示]　曲线的切线与曲线不一定只有一个交点，如曲线y＝sin x与切线y＝1有无数个交点． 2. 导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，这就是导数的几何意义． (1)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． (2)若f′(x0)>0，则切线与x轴正向的夹角为锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正向的夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行．　　 3．切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 1．已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 B　[由题意，知f′(3)＝ ＝－2.故选B．] 2．已知函数y＝f(x)的图象(如图)，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B　[由题图知f(x)在点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f′(xA)<f′(xB).] 学生用书第44页 3．曲线y＝2x3在点A(1，2)处的切线的斜率等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 D　[因为Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，所以＝＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6. 由导数的几何意义知，曲线y＝2x3在点A处的切线的斜率等于6，故选D．] 4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． 解析：　∵f(x)＝x2，∴在x＝1处的瞬时变化率是 ＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2. 答案：　2 5．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是______________． 解析：　点 A(1，2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. ∴切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 答案：　x＋y－3＝0 题型一　导数几何意义的应用 (1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)　 B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)　 C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) (2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [点拨]　(1)根据导数的几何意义进行判断．(2)由已知可得点(0，b)处的斜率为1，点(0，b)在切线上，列方程求解即可． 解析：　(1)kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).故选C． (2)由题意，知k＝y′|x＝0＝ ＝1，∴a＝1. 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A． 答案：　(1)C　(2)A 1