6.1.1 函数的平均变化率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6．1　导数 6．1.1　函数的平均变化率 [课标解读]1.通过对大量实例的分析，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率． 知识点一　函数的平均变化率 1．定义：一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称＝为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1<x2时指的是[x1，x2]，而x1>x2时指的是[x2，x1]． 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．　　 2．平均变化率的意义 (1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位． (2)几何意义：函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率． 说明：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”． 知识点二　平均速度与平均变化率 平均速度 (1)概念：如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为(m/s). (2)物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 1．(多选)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx可以是(　　) A．Δx>0　 B．Δx<0 C．Δx＝0 D．以上都可以 AB　[由平均变化率的定义，可知选AB．] 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 B　[＝＝＝＝4.1，故选B．] 学生用书第41页 3.设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　　) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) D　[函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).] 4．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B　[＝＝－1.] 5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________． 解析：　∵1＝＝kMA，2＝＝kAB，3＝＝kBC， 由图象可知：kMA<kAB<kBC， ∴3>2>1. 答案：　3>2>1 题型一　求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [点拨]　由函数的平均变化率的定义求解． 解析：　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5 ＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx. 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的变化量Δx＝x2－x1. (2)求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1). (3)求平均变化率＝. 注意：求点x0附近的平均变化率，可用的形式表示，且Δx≠0. 即时练1.求函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？ 解析：　在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx； 若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大． 题型二　求平均速度和平均变化率 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　) A．－4 B．－8 C．6 D．－6 [点拨]　由平均速度的定义求解． D　[由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6.故选D．] 学生用书第42页 求运动物体平均速度的基本步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s