第五章 数列 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

章末综合提升 一　等差(比)数列的基本运算 主要考查角度： (1)求公差(公比)；(2)求数列中某一项；(3)求通项公式；(4)求前n项和；(5)求前n项和的最值． 关键核心素养： (1)数学运算；(2)逻辑推理；(3)数学抽象；(4)数学建模． 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [点拨]　(1)⇒ (2)⇒⇒ 解析：　(1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2， ∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32. 设{bn}的公差为d，则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n. 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(或q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．　　 学生用书第37页 即时练1.(1)(2022·厦门高二检测)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为(　　) A．13 B．26 C．52 D．156 (2)(2022·德州高二检测)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 解析：　(1)3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24， 所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4， 所以S13＝＝＝＝26.故选B． (2)因为a5·a2n－5＝a＝22n，且an＞0， 所以an＝2n，所以a2n－1＝22n－1， 所以log2a2n－1＝2n－1， 所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.故选C． 答案：　(1)B　(2)C 二　求数列的通项公式 主要考查角度： (1)根据定义求通项公式；(2)由递推公式求通项公式；(3)由Sn求an. 关键核心素养： (1)数学分析；(2)逻辑推理；(3)数学运算． (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an； (2)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝Sn，求an. [点拨]　(1)已知Sn求an时，应分n＝1与n≥2讨论； (2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解． 解析：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式． ∴an＝ (2)∵Sn＝3an＋1，　　　　　① ∴n≥2时，Sn－1＝3an. ② ①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an， ∴3an＋1＝4an，∴＝， 又a2＝S1＝a1＝. ∴n≥2时，an＝×()n－2，不适合n＝1. ∴an＝ 数列通项公式的求法 (1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目． (2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式 an＝求解． (3)累加或累乘法：形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．　　 即时练2.(1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝2，求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)两边同除以5n＋1，得＝×＋， 可得－1＝(－1). 由于－1＝－≠0，所以数列是以－为首项，为公比的等比数列，从而－1＝－×()n－1，故数列{an}的通项公式为an＝5n－3×2n－1. (2)由题意，可得＝＝＋2， 又＝，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，故＝＋2(n－1)＝， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 学生用书第38页 三　等差(比)数列的判定 主要考查角度： (1)根据定义判定等差(比)数列； (2)构造新的等差(比)数列． 关键核心素养： (1)逻辑推理；(2)数学运算；(3)数据分析． 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4