第五章 习题课 数列求和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

习题课　数列求和 [课标解读]理解并掌握几种不同数列的求和方法． 1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　) A．765 B．665 C．763 D．663 B　[设符合题意的数所组成的等差数列为{an}， ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15， ∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.] 2．等比数列{an}前n项和为Sn＝3n－2＋k，则实数k的值为(　　) A． B．－ C． D．－ D　[Sn＝3n－2＋k＝·3n＋k，根据等比数列前n项和Sn的有关性质可得k＝－.] 3．(多选)如图所示，作边长为3的正 △ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则下列说法正确的是(　　) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 C．n个内切圆的面积和为π D．n个内切圆的面积和为3π BC　[S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件可得，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC．] 4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·n，Sn为其前n项和，则S13＋S24＝________． 解析：　因为an＝(－1)n·n，所以S13＋S24＝(－1＋2－3＋4－5＋…－11＋12－13)＋(－1＋2－3＋4－5＋6－…－23＋24)＝(1×6－13)＋1×12＝5. 答案：　5 5．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则数列{bn}的前n项和Sn＝____________． 解析：　由bn＝nan＝n·22n－1知，Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，② ①－②得(1－22)·Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1， 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]. 答案：　[(3n－1)22n＋1＋2] 学生用书第32页 题型一　分组法求和 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn. [点拨]　⇒⇒ 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5. (2)当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．　　 即时练1.已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和． 解析：　令{cn}的前n项和为Sn， 则Sn＝1＋2＋3＋…＋ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋ ＝＋ ＝＋1－. 即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－. 题型二　错位相减法求和 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*). [点拨]　求出等差数列{an}、等比数列{bn}的通项公式；{an}的偶数项为等差数列，{bn}的奇数项为等比数列，从而求{a2nb2n－1}的前n项和运用错位相减法． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知得：b2＋b3＝12，即b1(q＋q2)＝12，又b1＝2，所以q2＋q－6＝0，因为q>0，所以q＝2，所以bn＝2n，由b3＝a4－2a1，S11＝11b4得，即3d－a1＝8，a1＋5d＝16， 联立解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2， 所以{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n－2，bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，可得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述两式相减，得－3Tn＝2×4