5.5 数学归纳法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

*5.5　数学归纳法 [课标解读]1.了解数学归纳法的原理.2.掌握数学归纳法的步骤.3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 知识点　 数学归纳法 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． [提示]　数学归纳法的第一步n0的初始值不一定为1.如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 2．数学归纳法的框图表示 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) A．1　　　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 C　[当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C．] 学生用书第34页 2.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ D　[结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.] 3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　) A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d C　[假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.] 4．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立． 解析：　因为命题p(n)对所有正偶数n成立，则应先验证n＝2成立． 答案：　2 5．(2022·常州期中)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为____________________________． 解析：　因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N*)时， 当n＝1时，左边所得的项是1，右边的项也是1，等式成立． 假设n＝k时，命题成立，左端为1＋2＋3＋…＋k3，则当n＝k＋1时， 左端为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋…＋(k＋1)3， 所以由n＝k到n＝k＋1时需添加的项是(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3. 答案：　(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 题型一　用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*). [点拨]　利用数学归纳法分两步证明． 证明：　(1)当n＝1时，＝，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ＝＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．　　 即时练1.用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*). 证明：　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立； (2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 ＋＋＋…＋＝. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝ ＝. 所以n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得，对任何n∈N*等式都成立． 题型二　与数列有关的归纳—猜想—证明问题 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 学生用书第35页 [点拨]　⇒⇒ 解析：　(1)由S1＝a1＝得a＝1. 因为an＞0，所以a1＝1， 由S2＝a1＋a2＝， 得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝， 得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－. (2)猜想an＝－(n∈N*). 证明：①当n＝1时，a1＝1＝－猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝－， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－， 即ak＋1＝－(－＋)＝(ak＋1＋)－， 所以a＋2ak＋1－1＝0， 所以ak＋1＝－.即n＝k＋1时猜想成立． 由①②知，an＝－(n∈N*). 1．“归纳—