5.4 数列的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．4　数列的应用 [课标解读]1.正确理解分期还款的两种计算方式.2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．3.掌握数列在日常经济生活中的应用． 知识点　分期还款与数列 1．等额本金还款法：是将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率． 2．等额本息还款法：是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还． 每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月). 3．银行存款计息方式 名称 计算方法 计算公式 单利 仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，即利息＝本金×利率×存期 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和) S＝P(1＋nr) 复利 把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额不同 S＝P(1＋r)n 学生用书第28页 4.数列应用问题常见模型 (1)零存整取模型 零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取．计算公式为：利息＝本金×利率×存期． (2)定期自动转存模型 定期自动转存，是指储户与银行约定在存款到期日自动将本利和按原存期转入下一个存款周期，定期自动转存业务，在计算利息时，以复利计算．计算公式为：利息＝本金×(1＋利率)存期． (3)分期付款模型 分期付款可以不一次性将款付清，还款时可以分期将款逐步还清．分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同． 5．常用公式 (1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n. (2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x. (3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr). 1．某件新产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　) A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3 C． D． C　[设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.] 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 B　[依题意，得1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， ∴≥100. ∴2n≥101.∴n≥7.则所求为7秒钟．] 3．某人从2019年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2025年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位：元)为(　　) A．a(1＋r)7 B．[(1＋r)7－(1＋r)] C．a(1＋r)8 D．[(1＋r)8－(1＋r)] B　[2024年1月1日，2023年1月1日，…，2019年1月1日存入钱的本息分别为：a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加求和得，＝[(1＋r)7－(1＋r)].] 4．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2.25 2.4 2.73 2.88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，则到期时的本利和为________元． 解析：　由已知得：10 000×(1＋2×2.4%)＝10 480(元). 答案：　10 480 5．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 解析：　设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32，26＝64，n∈N＋，所以n≥6. 答案：　6 题型一　等差数列在实际中的应用 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [点拨]　记每次付款的数额构成的数列{an}，依题意可归纳得出an, 从而可转化为等差数列模型求解． 学生用书第29页 解析：　因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－