5.3.2 等比数列的前n项和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.3.2　等比数列的前n项和 [课标解读]1.掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的求和问题.2.掌握等比数列前n项和的性质及应用.3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 知识点一　等比数列的前n项和 1．求和公式 (1)已知首项、公比、项数，Sn＝ (2)已知首项、末项、公比，Sn＝ (1)求和公式中是qn，通项公式中是qn－1，不要混淆． (2)应用求和公式时注意公比q的取值，必要时应讨论q≠1和q＝1的情况． (3)利用方程思想，在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，若已知三个量可求出第四个量． (4)若数列{an}是非常数列的等比数列，则其前n项和公式为：Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*).(注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A＝) [提示]　在等比数列求和时，应根据条件选择合适的公式．若公比q不能确定，需分q＝1和q≠1两种情况讨论．　　 2．推导方法 (1)方法一：一般地，等比数列{an}的前n项和可写为Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ① 当q＝1时，Sn＝na1， 当q≠1时，用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn, ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 整理得Sn＝(q≠1). 我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.　　 (2)方法二：根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理， 则得＝q，即＝q，进而可求Sn. 知识点二　等比数列前n项和的性质 1．设连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)不为零，则它们仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数) [提示]　当q＝－1且m为偶数时，S2m－Sm，S3m－S2m，…是数列0，0，0，…，不是等比数列． 2．Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比). 3．设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 4．当q≠1时，Sn＝＝qn＋，令A＝，则Sn＝Aqn－A.(A≠0，q≠0，n∈N*) [提示]　性质3描述了等比数列中奇数项的和与偶数项的和之间的关系，要特别注意项数为奇数与项数为偶数的区别． 学生用书第25页 1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前6项的和为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 A　[若a1＝1，a5＝16，则q＝2，S6＝＝＝63.] 2．已知n∈N*，则22＋23＋24＋……＋25n－1＝(　　) A．25n－4 B．25n＋1－36 C．32n－4 D．25n－1＋12 C　[n∈N*，则22＋23＋24＋…＋25n－1＝＝25n－4＝32n－4.] 3．(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，q＝2，Sn是{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．数列{a2n}是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列{log2an}是等差数列 D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列 AC　[等比数列{an}满足a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，所以a2n＝22n－1，所以数列{a2n}是等比数列，故A正确； 又＝＝，所以数列是递减数列，故B不正确； 因为log2an＝log22n－1＝n－1，所以{log2an}是等差数列，故C正确； 数列{an}中，S10＝＝210－1，S20＝220－1，S30＝230－1，S10，S20，S30不成等比数列，故D不正确，故选AC．] 4．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________． 解析：　S5＝＝＝31. 答案：　31 5．等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝13，则S5＝________． 解析：　设等比数列的公比为q，∵a1＝1，S3＝13，则S3＝1＋q＋q2＝13，解得q＝3，或q＝－4(舍去)，则S5＝＝＝121. 答案：　121 题型一　等比数列前n项和公式的简单应用 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 022＋a2 023＝0，则S101等于(　　) A．3 B．303 C．－3 D．－303 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________． (3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． [点拨]　(1)由a2 022＋a2 023＝0求出q＝－1，进而可