5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　等比数列的性质 [课标解读]1.掌握等比数列的性质及其应用.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 知识点一　等比中项 1．定义：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 2．性质 (1)若G为x与y的等比中项，则G2＝xy； (2)在一个等比数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项. (1)同号的两个数a，b的等比中项有两个，它们互为相反数，一个是，一个是－. (2)若{an}为等比数列，则当n≥2时，an－1，an＋1的等比中项为±an. (3)等比中项与等差中项的区别 ①任意两项都存在等差中项，但并不是任意两项都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数． [提示]　当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如数列0，0，5就不是等比数列．　　 知识点二　等比数列项与序号的关系 两项关系 an＝am·qn－m(n，m∈N*) 多项关系 若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq (1)两项关系：一是m，n的大小关系不一定；二是利用变形qm－n＝可以求公比． (2)多项关系：当p＝q时，由m＋n＝2p，得am·an＝a，即等比中项关系表达式． (3)多项关系的推广：若m，n，p，k，r，s∈N*，且m＋n＋p＝k＋r＋s，则am·an·ap＝ak·ar·as. [提示]　若m＋n＝p，推不出am·an＝ap.　　 知识点三　等比数列的“子数列”的性质 数列{an}是公比为q的无穷等比数列． (1)去掉数列{an}的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列． (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列． (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列，且公比为qk＋1. 知识点四　两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 D　[因为数列{an}是等比数列，设其公比为q，则a3·a9＝a1·q2·a1·q8＝(a1q5)2＝a，所以a3，a6，a9一定成等比数列，故选D．] 2．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1　　　 B．－1 C．±1 D．2 C　[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.] 3．(多选)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是(　　) A．0＜q＜1 B．a7＝1 C．K9＞K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 ABD　[根据题意，分析选项．对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈(0，1)，故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．故选ABD．] 4．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________． 解析：　因为a5，a7，a9成等比数列，所以a＝a5·a9，故a9＝＝＝9. 答案：　9 5．在首项为2 020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 解析：　由等比数列通项公式得an＝a1qn－1＝2 020×，则数列单调递减， a11－1＝2 020×－1＝，a12－1＝2 020×－1＝－， 故当n＝12时，数列的项与1最接近． 答案：　12 学生用书第22页 题型一　等比中项的应用 (1)在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．±4 B．4 C．± D． (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． [点拨]　(1)用定义求等比中项． (2)根据a，b，c的关系证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)成立． 解析：　(1)由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4. (2)证明：因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a