5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.3　等比数列 5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 [课标解读]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式及其应用.3.熟练掌握等比数列的判定方法． 知识点一　等比数列的定义 文字语言 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)或＝q(n≥2) (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，等比数列中没有“0”项存在． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列． (4)等差数列与等比数列概念辨析 等差数列 等比数列 概念 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数的数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为0)的数列 相同点 ①都强调每一项与它的前一项的关系； ②结果都必须是常数； ③数列都可由a1，q或a1，d确定 不同点 ①强调的关系为差； ②首项a1和公差d可以为零 ①强调的关系为比； ②首项a1和公比q均不为零 知识点二　等比数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1． 2．通项公式的推广：若{an}是等比数列，公比为q，则an＝amqn－m(m，n∈N*). 3．从函数角度认识等比数列 (1)等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). (2)任给指数函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. (1)在等比数列通项公式an＝a1qn－1中共有四个量，只要知道其中三个就可以求另外一个，即“知三求一”． (2)在已知等比数列{an}中的an及公比q的前提下，可以使用an＝amqn－m求等比数列中的am. (3)已知等比数列{an}中的as和at两项，就可以使用＝qt－s求公比．　　 知识点三　等比数列的单调性 单调性 公比q 首项a1 q>1 0<q<1 q＝1 q<0 a1>0 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 a1<0 递减数列 递增数列 学生用书第19页 在等比数列{an}中，公比q>0时，各项同号；q<0时，各项的符号正负交替．　　 1．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　) A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 A　[设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是a； “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是a； “商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是a； 最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a. 由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．] 2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 D　[由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．] 3．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 ABD　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选ABD．] 4．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________． 解析：　由定义知＝＝＝＝q， 则a