5.2.2 等差数列的前n项和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.2.2　等差数列的前n项和 [课标解读]1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.3.掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 知识点一　等差数列的前n项和 1．求和公式 (1)已知首项、末项、项数，Sn＝． (2)已知首项、公差、项数，Sn＝na1＋d． (1)等差数列前n项和公式的结构 (2)在等差数列前n项和公式中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．　　 2．公式的推导方法是倒序相加法 (1)倒序相加法实际是一次函数中心对称性的反映，即若函数f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称图形，则f(x)＋f(2a－x)＝2b，对应等差数列则是an＋a2m－n＝2am. (2)若一个数列满足：任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和，则求该数列的前n项和常用倒序相加法．　　 知识点二　等差数列的前n项和公式与函数 1．等差数列前n项和公式与二次函数的关系 在等差数列{an}中，Sn＝na1＋d＝n2＋n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上； 当A＝0(d＝0)时，Sn是关于n的一次函数(B≠0，此时a1≠0)或常函数(B＝0，此时a1＝0)，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点． 2．前n项和公式法判定等差数列 若数列{an}的前n项和形如Sn＝An2＋Bn，则 当n＝1时，a1＝S1＝A＋B； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2An－A＋B， 又2A×1－A＋B＝A＋B＝a1，所以数列{an}的通项公式为an＝2An－A＋B， 于是有an＋1－an＝[2A(n＋1)－A＋B]－(2An－A＋B)＝2A(常数)， 故数列{an}是以A＋B为首项，2A为公差的等差数列． 如果数列{an}是等差数列，那么其前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，故若数列{an}的前n项和为Sn，则{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). [提示]　若数列的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)中，c≠0，则该数列不是等差数列；反之，若一个数列是等差数列，它的前n项和Sn也不一定是关于n的二次函数，如常数列的前n项和Sn＝na1. 知识点三　等差数列前n项和的性质 1．项数的“等和”性质：Sn＝＝. 2．等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． 学生用书第15页 3.若等差数列{an}共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd；＝； (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an；＝. [提示]　等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列，而不是Sn，S2n，S3n，S4n，…构成等差数列． 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 B　[S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.] 2．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30的值为(　　) A．456 B．465 C．930 D．654 B　[S30＝＝＝465.] 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝5，S5＝40，则公差d＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[等差数列{an}中，a2＝5，S5＝40， 则解得d＝3，a1＝2.] 4．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 解析：　由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15. 答案：　15 5．在数列{an}中，若a1＝－60，且an＋1＝an＋3，则这个数列前30项的绝对值之和为__________． 解析：　由题意，可知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，即数列{an}是公差为3的等差数列， 又因为a1＝－60，所以an＝3n－63，Sn＝＝， 可得当1≤n≤20，n∈N*时，an<0，当n≥21，n∈N*时，an≥0， 所以数列前30项的绝对值之和为： |a1|＋|a2|＋…＋|a30| ＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋a22＋…＋a30) ＝－S20＋(S30－S20)＝S30－2S20 ＝－2×＝765. 答案：　765 题型一　等差数列前n项和的基本计算 (1